Questão 1: (2.0 pountos
Considere a funs
- Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências que define
.
- Encontre
(a derivada de ordem 6 da função
em
).
Considere a funs
Passo 1
A questão pede o estudo da série de potências f(x)=∑_{n=0}∞\frac{3}{n+2}xn em termos de raio e intervalo de convergência, e depois a derivada de ordem 6 em x=0. O conteúdo aqui é séries de potências: vamos usar o teste da razão para encontrar o raio e analisar os extremos, e depois a fórmula de derivada termo a termo de séries.
Passo 2
Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão em a_n=\frac{3}{n+2}. Calculamos
Passo 3
A condição de convergência é L<1, ou seja |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.
Passo 4
Agora analisamos os extremos: em x=1 a série fica ∑3/(n+2), que diverge (é comparável a harmônica). Em x=-1 temos ∑(-1)^n 3/(n+2), que converge pelo teste da série alternante. Portanto o intervalo de convergência é [-1,1).
Passo 5
Para a derivada de ordem 6 em zero, usamos que, para série f(x)=∑a_n x^n, vale f^{(k)}(0)=k!·a_k. Aqui a_6=3/(6+2)=3/8, logo
Resposta
Raio de convergência R=1, intervalo de convergência [-1,1), e f^{(6)}(0)=270.