Questão 1: (2.0 pountos )
Considere a funs ^ áo á
f(x)=sumn=0^infty 3n+2 x^n
  1. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências que define f(x).
  2. Encontre f^(6)(0) (a derivada de ordem 6 da função f em x=0 ).

Passo 1

A questão pede o estudo da série de potências f(x)=∑_{n=0}∞\frac{3}{n+2}xn em termos de raio e intervalo de convergência, e depois a derivada de ordem 6 em x=0. O conteúdo aqui é séries de potências: vamos usar o teste da razão para encontrar o raio e analisar os extremos, e depois a fórmula de derivada termo a termo de séries.

Passo 2

Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão em a_n=\frac{3}{n+2}. Calculamos
L=limntoinfty|an+1x^n+1an x^n|=limntoinfty|3/(n+3);x^n+13/(n+2);x^n|=|x|limntoinftyn+2n+3=|x|

Passo 3

A condição de convergência é L<1, ou seja |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 4

Agora analisamos os extremos: em x=1 a série fica ∑3/(n+2), que diverge (é comparável a harmônica). Em x=-1 temos ∑(-1)^n 3/(n+2), que converge pelo teste da série alternante. Portanto o intervalo de convergência é [-1,1).

Passo 5

Para a derivada de ordem 6 em zero, usamos que, para série f(x)=∑a_n x^n, vale f^{(k)}(0)=k!·a_k. Aqui a_6=3/(6+2)=3/8, logo
f^(6)(0)=6!cdot38=720cdot38=270

Resposta

Raio de convergência R=1, intervalo de convergência [-1,1), e f^{(6)}(0)=270.

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