Calcule as seguintes integrais duplas:
onde
é a região limitada pelas curvas
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região no plano limitada pelas retas
e
.
O conteúdo aqui é mudança de variáveis para simplificar o domínio e o integrando.
O conteúdo aqui é mudança de variáveis para simplificar o domínio e o integrando.
Passo 2
Observamos que as fronteiras de
são dadas por constantes de
Isso sugere usar a transformação
pois em
a região vira o retângulo
Passo 3
Para achar o jacobiano precisamos expressar
e
em função de
. Somando e subtraindo as definições:
Passo 4
O determinante jacobiano é
Logo,
,dx,dy = |J|,du,dv = tfrac14,du,dv ]
Passo 5
No novo sistema temos
portanto o integrando fica
Assim a integral transforma-se em
Passo 6
Calculamos por partes: primeiro em
v , com
u fixo,
Logo a integral vira