Calcule as seguintes integrais duplas:
integral duplaD y+2 x(y-2 x)^2 d x d y onde D é a região limitada pelas curvas y-2 x=2, y+2 x=2, y-2 x=1 e y+2x = 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD y+2x(y-2x)^2,dx,dy
onde D é a região no plano limitada pelas retas
,y-2x=1,;y-2x=2,;y+2x=1 e y+2x=2.
O conteúdo aqui é mudança de variáveis para simplificar o domínio e o integrando.

Passo 2

Observamos que as fronteiras de D são dadas por constantes de
u = y-2x e v = y+2x
Isso sugere usar a transformação
u = y-2x, v = y+2x,
pois em (u,v) a região vira o retângulo
,1<= u<=2,;1<= v<=2

Passo 3

Para achar o jacobiano precisamos expressar x e y em função de u,v. Somando e subtraindo as definições:
u+v = 2y implies y = u+v2, v-u = 4x implies x = v-u4

Passo 4

O determinante jacobiano é
J = det partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v = det -tfrac14 & tfrac14[3pt] tfrac12 & tfrac12 =-tfrac14
Logo, ,dx,dy = |J|,du,dv = tfrac14,du,dv]

Passo 5

No novo sistema temos
y+2x = v, y-2x = u,
portanto o integrando fica
y+2x(y-2x)^2 =vu^2
Assim a integral transforma-se em
integral duplaDy+2x(y-2x)^2,dx,dy =integralu=1^2!integralv=1^2vu^2cdot14,dv,du

Passo 6

Calculamos por partes: primeiro em v, com u fixo,
integralv=1^2v,dv =l[tfracv^22r]1^2 =42-12 =32
Logo a integral vira
14integral1^21u^2cdot32,du =38integral1^2u^-2,du =38l[-u^-1r]1^2 =38l(-tfrac12+1r) =38cdot12 =316

Resposta

316

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