Calcule as seguintes integrais duplas
© integral0^pi / 4 integral0^pi[sen(x)+cos (y)] d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integraly=0^pi/4integralx=0^pi[sin(x)+cos(y)],dx,dy. O conteúdo é integral iterada e vamos usar linearidade de integrais e integração de funções trigonométricas.

Passo 2

Usando a linearidade da integral, separamos a soma dentro do integrando:
integral0^pi[sin(x)+cos(y)],dx=integral0^pisin(x),dx+integral0^picos(y),dx

Passo 3

Calculamos a integral interna em x:
integral0^pisin(x),dx=[-cos(x)]0^pi=-cos(pi)+cos(0)=1+1=2,
e
integral0^picos(y),dx=cos(y)cdotl[xr]0^pi=picos(y)
Logo o resultado da integral em x é 2+picos(y).

Passo 4

Agora integramos em y de 0 até pi/4:
integral0^pi/4[2+picos(y)],dy=integral0^pi/42,dy+piintegral0^pi/4cos(y),dy
Calculando cada parte:
integral0^pi/42,dy=2y|0^pi/4=tfracpi2,
integral0^pi/4cos(y),dy=sin(y)|0^pi/4=sintfracpi4=tfracraiz22
Multiplicando pelo pi temos picdottfracraiz22=tfracpiraiz22

Passo 5

Somando as duas parcelas em y:
tfracpi2+tfracpiraiz22=tfracpi2(1+raiz2)

Resposta

pi2(1+raiz2)

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