Integrais duplas num domínio qualquer
(e) Calcular integralD integral e^y / x d x d y onde D é um triângulo limitado pelas retas y=x, y=0 e x=1.

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaD e^y/x,dx,dy, onde D é o triângulo limitado por y=0, y=x e x=1. O conteúdo é integrais duplas e vamos precisar escolher uma ordem de integração conveniente.

Passo 2

Observando o domínio D, notamos que x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 a x. Assim, podemos escrever a integral como
integralx=0^1integraly=0^xe^y/x,dy,dx

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral0^xe^y/x,dy
Usamos a substituição u=yx, logo dy = x,du, com limites de u=0 a u=1. A integral torna-se
integralu=0^1e^u,x,du = xintegral0^1e^udu = x(e-1)

Passo 4

Agora substituímos o resultado na integral externa e integramos em x:
integral0^1x(e-1),dx = (e-1)integral0^1x,dx = (e-1)[x^22]0^1 = e-12

Resposta

dfrace-12

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