Calcule as seguintes integrais duplas. Justifique suas respostas. Esboce as regiões de integração. Cada item abaixo vale 5,0 na pontuação total desta avaliação.
onde
é a região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede calcular a integral dupla
. - A região
é a região limitada pelas curvas e . - Não há outras restrições no enunciado (por exemplo, restrições de sinal de
ou de ).
As perguntas implícitas que vamos responder: (i) qual é a região
exatamente (onde se cruzam as curvas, que parte fica entre elas), (ii) como escrever a integral iterada adequada e (iii) calcular o valor numérico da integral.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção e esboçar a região
.
-
Para achar os pontos de interseção das curvas, resolvemos
. logoou . -
Para cada ponto de interseção obtemos o
correspondente usando uma das curvas. Para temos . Para temos . Logo os pontos de interseção são e . -
Esboço da região (modo de desenhar): desenhar a parábola
e a reta ; elas se cruzam em e . Para comparamos os valores: como tem-se , portanto a parábola fica abaixo da reta naquele intervalo. Assim é a região situada entre a parábola por baixo e a reta por cima, limitada à esquerda por e à direita por .
Passo 3
Decidir a ordem de integração e justificar a escolha.
- Observação: a região
é do tipo "simples em " (tipo I): para cada entre e o valor de varia entre a curva inferior e a curva superior . Isso permite escrever a integral dupla como uma integral iterada com interno e externo. - Justificativa de existência: a função integranda
é um polinômio em , portanto contínua em toda ; pela propriedade de Fubini/Tonelli podemos trocar integrais iteradas e a integral dupla existe e é igual à integral iterada que escolhermos.
Passo 4
Escrever a integral iterada correspondente.
- Pelas observações do passo anterior, os limites são
e, para cada , . Assim escrevemos
- Explicando as variáveis:
e são as coordenadas; indica integração ao longo do eixo vertical (para variando de até ), e em seguida integramos em de a .
Passo 5
Calcular a integral interna (em
) passo a passo.
- Para integrar em
tratamos como constante. A primitiva de em relação a é . Portanto
- Avaliando os extremos:
Passo 6
Simplificar a expressão obtida após a integração em
.
- Calcular as potências:
, e . - Substituindo:
- Simplificando os coeficientes e as potências:
e . Logo a expressão fica
Passo 7
Integrar a expressão resultante em
no intervalo de
a
.
- Escrevemos a integral unidimensional:
- Determinar primitivas termo a termo:
- Primitiva de
é . - Primitiva de
é .
- Primitiva de
- Portanto
Passo 8
Avaliar as primitivas nos limites e simplificar numericamente.
- Avaliando em
(o termo em é zero):
- Notar uma simplificação prática:
, logo . Assim o primeiro termo é . O segundo termo é . Podemos fatorar :
- Simplificar o parêntese:
. Então
- Portanto o resultado é
- Calculando
: e . Assim o valor final é