Calcule as seguintes integrais duplas. Justifique suas respostas. Esboce as regiões de integração. Cada item abaixo vale 5,0 na pontuação total desta avaliação.
\iint_{D} x^{2} y^{3} d A, \quad onde D \subset \mathbb{R}^{2} é a região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=4 x.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede calcular a integral dupla \iint_{D} x^{2}y^{3}\,dA.
  • A região D\subset\mathbb{R}^2 é a região limitada pelas curvas \;y=x^{2}\; e \;y=4x\;.
  • Não há outras restrições no enunciado (por exemplo, restrições de sinal de x ou de y).
As perguntas implícitas que vamos responder: (i) qual é a região D exatamente (onde se cruzam as curvas, que parte fica entre elas), (ii) como escrever a integral iterada adequada e (iii) calcular o valor numérico da integral.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção e esboçar a região D.
  • Para achar os pontos de interseção das curvas, resolvemos \;x^{2}=4x\;.
    x^{2}-4x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-4)=0,
    logo \;x=0\; ou \;x=4\;.
  • Para cada ponto de interseção obtemos o y correspondente usando uma das curvas. Para x=0 temos y=0. Para x=4 temos y=4\cdot4=16. Logo os pontos de interseção são (0,0) e (4,16).
  • Esboço da região (modo de desenhar): desenhar a parábola y=x^{2} e a reta y=4x; elas se cruzam em (0,0) e (4,16). Para 0<x<4 comparamos os valores: como x<4 tem-se x^{2}<4x, portanto a parábola fica abaixo da reta naquele intervalo. Assim D é a região situada entre a parábola por baixo e a reta por cima, limitada à esquerda por x=0 e à direita por x=4.

Passo 3

Decidir a ordem de integração e justificar a escolha.
  • Observação: a região D é do tipo "simples em x" (tipo I): para cada x entre 0 e 4 o valor de y varia entre a curva inferior y=x^{2} e a curva superior y=4x. Isso permite escrever a integral dupla como uma integral iterada com dy interno e dx externo.
  • Justificativa de existência: a função integranda x^{2}y^{3} é um polinômio em x,y, portanto contínua em toda \mathbb{R}^{2}; pela propriedade de Fubini/Tonelli podemos trocar integrais iteradas e a integral dupla existe e é igual à integral iterada que escolhermos.

Passo 4

Escrever a integral iterada correspondente.
  • Pelas observações do passo anterior, os limites são 0\le x\le 4 e, para cada x, x^{2}\le y\le 4x. Assim escrevemos
\iint_{D} x^{2}y^{3}\,dA = \int_{x=0}^{4}\int_{y=x^{2}}^{4x} x^{2}y^{3}\,dy\,dx.
  • Explicando as variáveis: x e y são as coordenadas; dy indica integração ao longo do eixo vertical (para y variando de x^{2} até 4x), e em seguida integramos em x de 0 a 4.

Passo 5

Calcular a integral interna (em y) passo a passo.
  • Para integrar em y tratamos x como constante. A primitiva de y^{3} em relação a y é \dfrac{1}{4}y^{4}. Portanto
\int_{y=x^{2}}^{4x} x^{2}y^{3}\,dy = x^{2}\left[\frac{1}{4}y^{4}\right]_{y=x^{2}}^{y=4x}.
  • Avaliando os extremos:
x^{2}\cdot\frac{1}{4}\Big((4x)^{4}-(x^{2})^{4}\Big).

Passo 6

Simplificar a expressão obtida após a integração em y.
  • Calcular as potências:
    (4x)^{4}=4^{4}x^{4}=256x^{4}, e (x^{2})^{4}=x^{8}.
  • Substituindo:
x^{2}\cdot\frac{1}{4}\big(256x^{4}-x^{8}\big)=\frac{x^{2}}{4}\cdot256x^{4}-\frac{x^{2}}{4}\cdot x^{8}.
  • Simplificando os coeficientes e as potências:
    \frac{256}{4}x^{6}=64x^{6} e \frac{1}{4}x^{10}=\frac{1}{4}x^{10}. Logo a expressão fica
64x^{6}-\frac{1}{4}x^{10}.

Passo 7

Integrar a expressão resultante em x no intervalo de 0 a 4.
  • Escrevemos a integral unidimensional:
\int_{0}^{4}\left(64x^{6}-\frac{1}{4}x^{10}\right)\,dx.
  • Determinar primitivas termo a termo:
    • Primitiva de 64x^{6} é 64\cdot\frac{1}{7}x^{7}=\frac{64}{7}x^{7}.
    • Primitiva de \frac{1}{4}x^{10} é \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{11}x^{11}=\frac{1}{44}x^{11}.
  • Portanto
\int_{0}^{4}\left(64x^{6}-\frac{1}{4}x^{10}\right)\,dx = \left[\frac{64}{7}x^{7}-\frac{1}{44}x^{11}\right]_{0}^{4}.

Passo 8

Avaliar as primitivas nos limites e simplificar numericamente.
  • Avaliando em x=4 (o termo em x=0 é zero):
\frac{64}{7}\cdot 4^{7}-\frac{1}{44}\cdot 4^{11}.
  • Notar uma simplificação prática: 64=4^{3}, logo 64\cdot 4^{7}=4^{3}\cdot 4^{7}=4^{10}. Assim o primeiro termo é \dfrac{4^{10}}{7}. O segundo termo é \dfrac{4^{11}}{44}. Podemos fatorar 4^{10}:
\frac{4^{10}}{7}-\frac{4^{11}}{44}=4^{10}\!\left(\frac{1}{7}-\frac{4}{44}\right).
  • Simplificar o parêntese: \dfrac{4}{44}=\dfrac{1}{11}. Então
\frac{1}{7}-\frac{1}{11}=\frac{11-7}{77}=\frac{4}{77}.
  • Portanto o resultado é
4^{10}\cdot\frac{4}{77}=\frac{4^{11}}{77}.
  • Calculando 4^{11}: 4^{10}=1\,048\,576 e 4^{11}=4\cdot 1\,048\,576=4\,194\,304. Assim o valor final é
\frac{4\,194\,304}{77}.

Resposta

\dfrac{4\,194\,304}{77}

Exercícios relacionados