Calcule as seguintes integrais duplas. Justifique suas respostas. Esboce as regiões de integração. Cada item abaixo vale 5,0 na pontuação total desta avaliação. \iint_{D} y^{3} d A, onde D \subset \mathbb{R}^{2} é o triângulo com vértices (0,3),(4,3) e ( 1,1 ).
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral dupla
\iint_{D} y^{3}\,dA,
onde D\subset\mathbb{R}^2 é o triângulo com vértices (0,3), (4,3) e (1,1).
Informações dadas:
Vértices: A=(0,3), B=(4,3), C=(1,1).
A função a integrar é y^{3}.
As tarefas são: determinar a região D (esboçar), escolher limites adequados e calcular a integral dupla, justificando cada passo.
Passo 2
Esboço e descrição da região D.
Para esboçar o triângulo: marcar os pontos A(0,3), B(4,3) (note que AB é horizontal em y=3) e C(1,1). Ligar A a B, A a C e B a C. Assim obtém-se o triângulo com “topo” em y=3 e vértice inferior em y=1.
Geometricamente: y varia entre 1 (no vértice C) e 3 (na base AB). Para cada altura y\in[1,3] a secção vertical do triângulo é um segmento em x entre uma reta à esquerda e outra à direita (vamos achar essas retas).
Passo 3
Equações das retas que formam os lados do triângulo.
Reta AB: passa por (0,3) e (4,3), é horizontal, portanto
\text{reta }AB:\\ y=3.
Reta AC: passa por (0,3) e (1,1). Calcula-se a inclinação
Expressar D em forma adequada para integração iterada (escolhi integrar primeiro em x, depois em y).
Para fazer isso preciso das funções que dão as abscissas esquerda e direita em função de y. Invertendo as equações das retas:
Interpretação final e checagem rápida.
O valor obtido é positivo (faz sentido: y^{3}\ge0 em D e área do triângulo é positiva). A conta foi feita explicitando todas as etapas (equações das retas, limites em x como funções de y, integração em x que só multiplica por largura, e depois integração em y).