Calcule as seguintes integrais duplas. Justifique suas respostas. Esboce as regiões de integração. Cada item abaixo vale 5,0 na pontuação total desta avaliação.
\iint_{D} y^{3} d A, onde D \subset \mathbb{R}^{2} é o triângulo com vértices (0,3),(4,3) e ( 1,1 ).

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral dupla
\iint_{D} y^{3}\,dA,
onde D\subset\mathbb{R}^2 é o triângulo com vértices (0,3), (4,3) e (1,1).
Informações dadas:
  • Vértices: A=(0,3), B=(4,3), C=(1,1).
  • A função a integrar é y^{3}.
    As tarefas são: determinar a região D (esboçar), escolher limites adequados e calcular a integral dupla, justificando cada passo.

Passo 2

Esboço e descrição da região D.
Para esboçar o triângulo: marcar os pontos A(0,3), B(4,3) (note que AB é horizontal em y=3) e C(1,1). Ligar A a B, A a C e B a C. Assim obtém-se o triângulo com “topo” em y=3 e vértice inferior em y=1.
Geometricamente: y varia entre 1 (no vértice C) e 3 (na base AB). Para cada altura y\in[1,3] a secção vertical do triângulo é um segmento em x entre uma reta à esquerda e outra à direita (vamos achar essas retas).

Passo 3

Equações das retas que formam os lados do triângulo.
Reta AB: passa por (0,3) e (4,3), é horizontal, portanto
\text{reta }AB:\\ y=3.
Reta AC: passa por (0,3) e (1,1). Calcula-se a inclinação
m_{AC}=\frac{1-3}{1-0}=-2.
Equação ponto-inclinação com ponto (0,3):
y-3=-2(x-0)\quad\Rightarrow\quad y=3-2x.
Reta BC: passa por (4,3) e (1,1). Inclinação
m_{BC}=\frac{1-3}{1-4}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}.
Usando ponto (4,3):
y-3=\frac{2}{3}(x-4)\quad\Rightarrow\quad y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}.

Passo 4

Expressar D em forma adequada para integração iterada (escolhi integrar primeiro em x, depois em y).
Para fazer isso preciso das funções que dão as abscissas esquerda e direita em função de y. Invertendo as equações das retas:
Da reta AC:\\ y=3-2x obtemos
x=\frac{3-y}{2}.
Da reta BC:\\ y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3} obtemos
x=\frac{3}{2}\bigl(y-\tfrac{1}{3}\bigr)=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}.
Portanto, para y\in[1,3] temos os limites em x:
x_{\text{esq}}(y)=\frac{3-y}{2},\qquad x_{\text{dir}}(y)=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}.
Assim
D=\{(x,y)\mid 1\le y\le 3,\\ \frac{3-y}{2}\le x\le \frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\}.

Passo 5

Escrever a integral iterada correspondente e simplificar o integrando quando possível.
Como escolha de ordem é dx\,dy, temos
\iint_{D} y^{3}\,dA=\int_{y=1}^{3}\left(\int_{x=\frac{3-y}{2}}^{\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}} y^{3}\,dx\right)dy.
Dentro da integral interna y^{3} é constante em relação a x, então
\int_{x=\frac{3-y}{2}}^{\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}} y^{3}\,dx = y^{3}\Bigl(x\Bigr)_{x=\frac{3-y}{2}}^{x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}} = y^{3}\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}-\frac{3-y}{2}\right).

Passo 6

Calcular a largura do segmento em x como função de y e simplificar.
Compute a diferença:
\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}-\frac{3-y}{2} = \frac{3}{2}y-\frac{1}{2}-\left(\frac{3}{2}-\frac{y}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}y+\frac{y}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\right).
Somando os termos:
\frac{3}{2}y+\frac{y}{2}=2y,\qquad -\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-2,
logo a diferença é
2y-2=2(y-1).
Portanto a integral fica
\iint_{D} y^{3}\,dA=\int_{1}^{3} y^{3}\cdot 2(y-1)\,dy =2\int_{1}^{3}\bigl(y^{4}-y^{3}\bigr)\,dy.

Passo 7

Calcular a integral unidimensional resultante passo a passo.
Primeiro integrar termo a termo:
\int\bigl(y^{4}-y^{3}\bigr)\,dy=\frac{1}{5}y^{5}-\frac{1}{4}y^{4}.
Aplicando os limites 1 a 3:
\left(\frac{1}{5}y^{5}-\frac{1}{4}y^{4}\right)\Bigg|_{1}^{3} =\left(\frac{1}{5}\cdot 3^{5}-\frac{1}{4}\cdot 3^{4}\right)-\left(\frac{1}{5}\cdot 1^{5}-\frac{1}{4}\cdot 1^{4}\right).
Calcule cada parte:
\frac{1}{5}\cdot 3^{5}=\frac{243}{5},\qquad \frac{1}{4}\cdot 3^{4}=\frac{81}{4},
\frac{1}{5}\cdot 1^{5}-\frac{1}{4}\cdot 1^{4}=\frac{1}{5}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{20}.
Portanto a diferença vale
\frac{243}{5}-\frac{81}{4}+ \frac{1}{20}.
É mais simples agrupar de forma conveniente; fazendo a subtração direta e depois multiplicando por 2 (lembre do fator 2 externo):
2\left[\left(\frac{243}{5}-\frac{81}{4}\right)-\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{4}\right)\right] =2\left(\frac{242}{5}-20\right) =2\cdot\frac{142}{5} =\frac{284}{5}.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida.
O valor obtido é positivo (faz sentido: y^{3}\ge0 em D e área do triângulo é positiva). A conta foi feita explicitando todas as etapas (equações das retas, limites em x como funções de y, integração em x que só multiplica por largura, e depois integração em y).

Resposta

\displaystyle \frac{284}{5}

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