Enunciado: Encontre a solução geral da equação diferencial
.
Solução: A equação característica associada é:
Observa-se que
é uma raiz, pois
. Efetuando a divisão do polinômio
por
:
Assim, a equação característica pode ser fatorada como:
As raízes são:
-
(multiplicidade 2)
-
(multiplicidade 1)
Portanto, a solução geral é dada pela combinação linear:
Solução: A equação característica associada é:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
Informações dadas:
- A equação diferencial é de terceira ordem, homogênea e com coeficientes constantes.
- Não há condições iniciais: quer-se a solução geral (com constantes arbitrárias).
O objetivo é determinar todas as soluções e escrever a combinação linear que descreve a solução geral.
Passo 2
Método padrão para este tipo de equação: procurar soluções da forma
, onde
é um número a ser determinado. Por que isso funciona? Porque ao derivar
aparece o mesmo fator
multiplicado por potências de
, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
(a equação característica). Aplicando
na equação obtém-se a equação característica
Passo 3
Testar raízes evidentes (inteiros pequenos) na equação característica. Avaliando em
:
portanto
é uma raiz da equação característica.
Passo 4
Fazer a divisão polinomial para reduzir o grau. Vou dividir o polinômio
por
. Uso divisão sintética (mais rápida): coeficientes de
são
. Colocando o divisor
:
- Trazer o
inicial para baixo. - Multiplicar
por e somar ao próximo coeficiente: . - Multiplicar
por e somar ao próximo coeficiente: . - Multiplicar
por e somar ao termo constante: (resto zero, como esperado).
Os coeficientes do quociente são
, ou seja o quociente é
. Portanto
Passo 5
Fatorar o quociente
usando a diferença de quadrados:
Assim a fatoração completa do polinômio característico é
Passo 6
Ler as raízes e suas multiplicidades a partir da fatoração:
-
com multiplicidade (raiz dupla). -
com multiplicidade (raiz simples).
Passo 7
Relembrar como construir a solução geral a partir das raízes da equação característica:
- Se
é uma raiz simples, uma solução é . - Se
é uma raiz de multiplicidade , as soluções linearmente independentes associadas são
Por que isso? Intuitivamente porque o operador diferencial polinomial em
pode ser escrito como
. Aplicando
a
produz zero quando
; assim esses
funções são soluções e são linearmente independentes.
Passo 8
Aplicando a regra ao nosso caso:
- Para a raiz dupla
obtemos as soluções e . - Para a raiz simples
obtemos a solução .
Essas três soluções são linearmente independentes e formam uma base do espaço solução (ordem 3 corresponde a três constantes arbitrárias).
Passo 9
Escrever a combinação linear com constantes arbitrárias
:
(Se quiser, pode verificar substituindo cada termo na equação original — por exemplo,
e
satisfazem o fator
e
satisfaz o fator
, logo a combinação satisfaz a equação inteira.)