Enunciado: Encontre a solução geral da equação diferencial y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0.
Solução: A equação característica associada é:
r^{3}-r^{2}-r+1=0
Observa-se que r=1 é uma raiz, pois 1^{3}-1^{2}-1+1=0. Efetuando a divisão do polinômio P(r)=r^{3}-r^{2}-r+1 por (r-1) :
\left(r^{3}-r^{2}-r+1\right) \div(r-1)=r^{2}-1
Assim, a equação característica pode ser fatorada como:
(r-1)\left(r^{2}-1\right)=0 \Longrightarrow(r-1)(r-1)(r+1)=0 \Longrightarrow(r-1)^{2}(r+1)=0
As raízes são:
  • r_{1}=1 (multiplicidade 2)
  • r_{2}=-1 (multiplicidade 1)
Portanto, a solução geral é dada pela combinação linear:
y(t)=c_{1} e^{t}+c_{2} t e^{t}+c_{3} e^{-t}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}-y^{\prime}+y=0.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é de terceira ordem, homogênea e com coeficientes constantes.
  • Não há condições iniciais: quer-se a solução geral (com constantes arbitrárias).
    O objetivo é determinar todas as soluções e escrever a combinação linear que descreve a solução geral.

Passo 2

Método padrão para este tipo de equação: procurar soluções da forma y(t)=e^{rt}, onde r é um número a ser determinado. Por que isso funciona? Porque ao derivar e^{rt} aparece o mesmo fator e^{rt} multiplicado por potências de r, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r (a equação característica). Aplicando y(t)=e^{rt} na equação obtém-se a equação característica
r^{3}-r^{2}-r+1=0.

Passo 3

Testar raízes evidentes (inteiros pequenos) na equação característica. Avaliando em r=1:
1^{3}-1^{2}-1+1=1-1-1+1=0,
portanto r=1 é uma raiz da equação característica.

Passo 4

Fazer a divisão polinomial para reduzir o grau. Vou dividir o polinômio P(r)=r^{3}-r^{2}-r+1 por (r-1). Uso divisão sintética (mais rápida): coeficientes de P são 1,\,-1,\,-1,\,1. Colocando o divisor r=1:
  • Trazer o 1 inicial para baixo.
  • Multiplicar 1 por 1 e somar ao próximo coeficiente: -1 + 1 = 0.
  • Multiplicar 0 por 1 e somar ao próximo coeficiente: -1 + 0 = -1.
  • Multiplicar -1 por 1 e somar ao termo constante: 1 + (-1) = 0 (resto zero, como esperado).
Os coeficientes do quociente são 1,\,0,\,-1, ou seja o quociente é r^{2}+0\cdot r-1=r^{2}-1. Portanto
\left(r^{3}-r^{2}-r+1\right)\div (r-1)=r^{2}-1.

Passo 5

Fatorar o quociente r^{2}-1 usando a diferença de quadrados:
r^{2}-1=(r-1)(r+1).
Assim a fatoração completa do polinômio característico é
r^{3}-r^{2}-r+1=(r-1)(r^{2}-1)=(r-1)(r-1)(r+1)=(r-1)^{2}(r+1).

Passo 6

Ler as raízes e suas multiplicidades a partir da fatoração:
  • r=1 com multiplicidade 2 (raiz dupla).
  • r=-1 com multiplicidade 1 (raiz simples).

Passo 7

Relembrar como construir a solução geral a partir das raízes da equação característica:
  • Se r_{0} é uma raiz simples, uma solução é e^{r_{0}t}.
  • Se r_{0} é uma raiz de multiplicidade m, as m soluções linearmente independentes associadas são
e^{r_{0}t},\quad t e^{r_{0}t},\quad t^{2}e^{r_{0}t},\\ \dots,\\ t^{m-1}e^{r_{0}t}.
Por que isso? Intuitivamente porque o operador diferencial polinomial em D=\frac{d}{dt} pode ser escrito como (D-r_{0})^{m}\cdot(\text{outros fatores}). Aplicando (D-r_{0})^{m} a t^{k}e^{r_{0}t} produz zero quando k\le m-1; assim esses m funções são soluções e são linearmente independentes.

Passo 8

Aplicando a regra ao nosso caso:
  • Para a raiz dupla r=1 obtemos as soluções e^{t} e t e^{t}.
  • Para a raiz simples r=-1 obtemos a solução e^{-t}.
    Essas três soluções são linearmente independentes e formam uma base do espaço solução (ordem 3 corresponde a três constantes arbitrárias).

Passo 9

Escrever a combinação linear com constantes arbitrárias c_{1},c_{2},c_{3}:
y(t)=c_{1}e^{t}+c_{2}t e^{t}+c_{3}e^{-t}.
(Se quiser, pode verificar substituindo cada termo na equação original — por exemplo, e^{t} e t e^{t} satisfazem o fator (D-1)^{2} e e^{-t} satisfaz o fator (D+1), logo a combinação satisfaz a equação inteira.)

Resposta

y(t)=c_{1}e^{t}+c_{2}t e^{t}+c_{3}e^{-t}

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