Calcule as seguintes integrais duplas.
(4 pontos) \iint_{R} x y e^{x^{2} y} d A, R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leq x \leq 1 ; 1 \leq y \leq 3\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla de f(x,y)=xy\,e^{x^{2}y} sobre o retângulo
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le1,\;1\le y\le3\}.
O conteúdo envolve usar a fórmula de Fubini para escrever a integral como iterada e depois fazer uma substituição na integral em x.

Passo 2

Pela fórmula de Fubini, podemos escrever
\iint_{R} xy\,e^{x^{2}y}\,dA \;=\;\int_{y=1}^{3}\!\biggl(\int_{x=0}^{1} xy\,e^{x^{2}y}\,dx\biggr)\,dy.
É conveniente calcular primeiro \displaystyle \int_{0}^{1} xy\,e^{x^{2}y}\,dx
usando a substituição
u = x^{2}y,\qquad du = 2xy\,dx \quad\Longrightarrow\quad xy\,dx = \tfrac12\,du.

Passo 3

Com u=x^{2}y, a integral interna fica
\int_{x=0}^{1} xy\,e^{x^{2}y}\,dx =\int_{u=0}^{u=y} e^{u}\,\tfrac12\,du =\tfrac12\int_{0}^{y} e^{u}\,du =\tfrac12\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{y} =\tfrac12\bigl(e^{y}-1\bigr).

Passo 4

Agora substituímos na integral em y:
\int_{1}^{3}\tfrac12\bigl(e^{y}-1\bigr)\,dy =\tfrac12\Bigl[\int_{1}^{3}e^{y}\,dy \;-\;\int_{1}^{3}1\,dy\Bigr] =\tfrac12\Bigl[\bigl(e^{y}-y\bigr)\Bigr]_{1}^{3} =\tfrac12\bigl((e^{3}-3)-(e-1)\bigr) =\tfrac{e^{3}-e-2}{2}.

Resposta

\iint_{R}xy\,e^{x^{2}y}\,dA = \frac{e^{3}-e-2}{2}.

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