(2,5 pontos) Calcular \iiint_{T} x d V, sendo T a regiāo delimitada por x^{2}+(y-3)^{2}+(z-2)^{2}=9.
Sugestāo: Fazer a mudança de variáveis para coordenadas esféricas através da fórmula \iiint_{T} f(x, y, z) d V=\iiint_{T^{\prime}} f(\rho \sin \varphi \cos \theta, 3+\rho \sin \varphi \sin \theta, 2+\rho \cos \varphi) \rho^{2} \sin \varphi d \rho d \varphi d \theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{T} x\,dV
onde T é a bola de raio 3 centrada em (0,3,2).
O conteúdo aqui é integração tripla em coordenadas esféricas deslocadas. Vamos usar a mudança
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=3+\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=2+\rho\cos\varphi,
com \rho\in[0,3], \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi], e o jacobiano \rho^{2}\sin\varphi.

Passo 2

Substituindo a coordenada x e o elemento de volume dV, o integral vira
\iiint_{T} x\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\rho=0}^{3} \bigl(\rho\sin\varphi\cos\theta\bigr)\, \bigl(\rho^{2}\sin\varphi\bigr)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

O integrando se simplifica para
\rho^{3}\,\sin^{2}\varphi\,\cos\theta,
logo
\iiint_{T} x\,dV =\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta \;\times\;\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,d\varphi \;\times\;\int_{0}^{3}\rho^{3}\,d\rho.

Passo 4

Note que
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0,
pois \cos\theta é função de período 2\pi com área positiva igual à negativa. Logo todo o produto vale zero, sem precisar calcular os outros fatores.

Resposta

0

Exercícios relacionados