(2,5 pontos) Calcular
, sendo
a regiāo delimitada por
.
Sugestāo: Fazer a mudança de variáveis para coordenadas esféricas através da fórmula
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a bola de raio
centrada em
.
O conteúdo aqui é integração tripla em coordenadas esféricas deslocadas. Vamos usar a mudança
O conteúdo aqui é integração tripla em coordenadas esféricas deslocadas. Vamos usar a mudança
com
,
,
, e o jacobiano
.
Passo 2
Substituindo a coordenada
e o elemento de volume
, o integral vira
Passo 3
O integrando se simplifica para
logo
Passo 4
Note que
pois
é função de período
com área positiva igual à negativa. Logo todo o produto vale zero, sem precisar calcular os outros fatores.