Usando integrais, calcule o volume do solido dado por:
(a) abaixo da superfície z=x y e acima do triângulo com vértices em (1,1),(4,1),(1,2); abaixo do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e acima do disco x^{2}+y^{2} \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede calcular dois volumes de sólidos pelo método das integrais duplas.
Conteúdo: volume de um sólido sob uma superfície z=f(x,y) e acima de uma região D no plano xy. Para isso usaremos
– em (a) coordenadas cartesianas, integrando z=xy sobre um triângulo;
– em (b) coordenadas polares, integrando o cone z=\sqrt{x^2+y^2} sobre um disco.

Passo 2

Para o item (a), a fórmula do volume é
V_a = \iint_{D} z\,dA = \iint_{D} x\,y \,dA,
onde D é o triângulo de vértices (1,1),(4,1),(1,2). Observe que as arestas são
– horizontal de (1,1) a (4,1),
– vertical de (1,1) a (1,2),
– e a reta de (4,1) a (1,2).
A equação dessa reta é
y - 1 = -\tfrac{1}{3}(x - 4) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{7 - x}{3}.
Logo, em coordenadas cartesianas,
1 \le x \le 4, \qquad 1 \le y \le \frac{7 - x}{3},
e
V_a = \int_{x=1}^{4}\!\int_{y=1}^{\tfrac{7 - x}{3}} x\,y\,dy\,dx.

Passo 3

Calculemos primeiro a integral interna em y:
\int_{y=1}^{\tfrac{7 - x}{3}} x\,y\,dy = x \,\frac{y^2}{2}\Big|_{1}^{\tfrac{7 - x}{3}} = \frac{x}{2}\Biggl[\Bigl(\frac{7 - x}{3}\Bigr)^2 - 1\Biggr] = \frac{x\bigl((7-x)^2 - 9\bigr)}{18}.
Agora integramos em x:
V_a = \int_{1}^{4} \frac{x\bigl((7-x)^2 - 9\bigr)}{18}\,dx = \frac{1}{18}\int_{1}^{4}\bigl(40x - 14x^2 + x^3\bigr)\,dx.
Calculando a primitiva e avaliando de 1 a 4
\int_{1}^{4}(40x -14x^2 + x^3)\,dx = \frac{837}{12},
portanto
V_a = \frac{1}{18}\cdot \frac{837}{12} = \frac{837}{216} = \frac{31}{8}.

Passo 4

Para o item (b), temos o cone z = \sqrt{x^2+y^2} sobre o disco x^2+y^2 \le 4. Em coordenadas polares x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, dA = r\,dr\,d\theta e
z = \sqrt{x^2+y^2} = r.
O volume é
V_b = \iint_{r\le2} r \,dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{2} r \cdot (r\,dr\,d\theta) = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} r^2\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integramos primeiro em r:
\int_{0}^{2} r^2\,dr = \frac{r^3}{3}\Big|_{0}^{2} = \frac{8}{3}.
Em seguida em \theta:
V_b = \int_{0}^{2\pi} \frac{8}{3}\,d\theta = \frac{8}{3}\cdot 2\pi = \frac{16\pi}{3}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{31}{8}
(b) \displaystyle \frac{16\pi}{3}

Exercícios relacionados