Usando integrais, calcule o volume do solido dado por:
(a) abaixo da superfície z=x y e acima do triângulo com vértices em (1,1),(4,1),(1,2); abaixo do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e acima do disco x^{2}+y^{2} \leq 4.
Passo 1
O enunciado pede calcular dois volumes de sólidos pelo método das integrais duplas.
Conteúdo: volume de um sólido sob uma superfície z=f(x,y) e acima de uma região D no plano xy. Para isso usaremos
– em (a) coordenadas cartesianas, integrando z=xy sobre um triângulo;
– em (b) coordenadas polares, integrando o cone z=\sqrt{x^2+y^2} sobre um disco.
Passo 2
Para o item (a), a fórmula do volume é
V_a = \iint_{D} z\,dA = \iint_{D} x\,y \,dA,
onde D é o triângulo de vértices (1,1),(4,1),(1,2). Observe que as arestas são
– horizontal de (1,1) a (4,1),
– vertical de (1,1) a (1,2),
– e a reta de (4,1) a (1,2).
A equação dessa reta é
y - 1 = -\tfrac{1}{3}(x - 4) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{7 - x}{3}.
Logo, em coordenadas cartesianas,
1 \le x \le 4, \qquad 1 \le y \le \frac{7 - x}{3},
Para o item (b), temos o cone z = \sqrt{x^2+y^2} sobre o disco x^2+y^2 \le 4. Em coordenadas polares x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, dA = r\,dr\,d\theta e
z = \sqrt{x^2+y^2} = r.
O volume é
V_b = \iint_{r\le2} r \,dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{2} r \cdot (r\,dr\,d\theta) = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} r^2\,dr\,d\theta.