Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões
dadas:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
sobre a região retangular
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Função:
. - Região:
. - Objetivo: calcular
.
Passo 2
Escolha do método e justificativa breve: como
é um retângulo e
é polinomial (logo contínua), vale o Teorema de Fubini e podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada. Vou integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Escrevendo a integral iterada:
Lembrete prático: a integral dupla sobre retângulo se transforma em integrar a função em
(tratando
como constante), depois integrar o resultado em
.
Passo 3
Calcular a primitiva em relação a
do integrando. Tratamos
como constante ao integrar em
:
- Para
, a primitiva em é , porque . - Para
, a primitiva em é , porque .
Portanto a primitiva do integrando em
é
Passo 4
Avaliar a primitiva entre
e
:
Calculemos os números:
Logo o integrando reduzido em função de
é
Assim a integral dupla ficou reduzida a uma integral de uma variável:
Passo 5
Calcular a primitiva em relação a
:
- Para
, a primitiva é . - Para
, a primitiva é .
Portanto a primitiva total é
Passo 6
Avaliar essa primitiva entre
e
:
Calculemos termo a termo:
Somando: