Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões R dadas:
f(x, y)=x^{2} y+y^{2} x, R=[0,2] \times [0,3].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função f(x,y)=x^{2}y+y^{2}x sobre a região retangular R=[0,2]\times[0,3].
Informações dadas:
  • Função: f(x,y)=x^{2}y+y^{2}x.
  • Região: R=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\\\ 0\le y\le3\}.
  • Objetivo: calcular \iint_{R} f(x,y)\,dA.

Passo 2

Escolha do método e justificativa breve: como R é um retângulo e f é polinomial (logo contínua), vale o Teorema de Fubini e podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada. Vou integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. Escrevendo a integral iterada:
\iint_{R} f(x,y)\,dA=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{3}\bigl(x^{2}y+y^{2}x\bigr)\,dy\,dx.
Lembrete prático: a integral dupla sobre retângulo se transforma em integrar a função em y (tratando x como constante), depois integrar o resultado em x.

Passo 3

Calcular a primitiva em relação a y do integrando. Tratamos x como constante ao integrar em y:
  • Para \;x^{2}y\;, a primitiva em y é x^{2}\cdot\frac{y^{2}}{2}, porque \dfrac{d}{dy}\!\left(\frac{y^{2}}{2}\right)=y.
  • Para \;y^{2}x\;, a primitiva em y é x\cdot\frac{y^{3}}{3}, porque \dfrac{d}{dy}\!\left(\frac{y^{3}}{3}\right)=y^{2}.
Portanto a primitiva do integrando em y é
x^{2}\cdot\frac{y^{2}}{2}+x\cdot\frac{y^{3}}{3}.

Passo 4

Avaliar a primitiva entre y=0 e y=3:
\left[x^{2}\cdot\frac{y^{2}}{2}+x\cdot\frac{y^{3}}{3}\right]_{y=0}^{y=3} = x^{2}\cdot\frac{3^{2}}{2}+x\cdot\frac{3^{3}}{3} - 0.
Calculemos os números:
\frac{3^{2}}{2}=\frac{9}{2},\qquad \frac{3^{3}}{3}=\frac{27}{3}=9.
Logo o integrando reduzido em função de x é
\frac{9}{2}x^{2}+9x.
Assim a integral dupla ficou reduzida a uma integral de uma variável:
\iint_{R} f(x,y)\,dA=\int_{0}^{2}\left(\frac{9}{2}x^{2}+9x\right)\,dx.

Passo 5

Calcular a primitiva em relação a x:
  • Para \frac{9}{2}x^{2}, a primitiva é \frac{9}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{9}{6}x^{3}=\frac{3}{2}x^{3}.
  • Para 9x, a primitiva é 9\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{9}{2}x^{2}.
Portanto a primitiva total é
\frac{3}{2}x^{3}+\frac{9}{2}x^{2}.

Passo 6

Avaliar essa primitiva entre x=0 e x=2:
\left[\frac{3}{2}x^{3}+\frac{9}{2}x^{2}\right]_{0}^{2} = \frac{3}{2}\cdot 2^{3}+\frac{9}{2}\cdot 2^{2} - 0.
Calculemos termo a termo:
\frac{3}{2}\cdot 2^{3}=\frac{3}{2}\cdot 8=3\cdot4=12,
\frac{9}{2}\cdot 2^{2}=\frac{9}{2}\cdot 4=9\cdot2=18.
Somando:
12+18=30.

Resposta

30

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