0 Desafio: (1,0 ponto) Calcule
, onde
. Dica: Tome
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
. Foi dada a dica de tomar a substituição
com
.
Dados importantes extraídos do enunciado:
Dados importantes extraídos do enunciado:
- A função a integrar é
. - A constante
é positiva: . - A substituição sugerida é
com .
A pergunta é: encontrar a primitiva (integral indefinida) em termos de.
Passo 2
Fazendo a substituição indicada. Defina
Vamos calcular
em função de
e também simplificar
.
Derivando
em relação a
obtemos
Agora calcule a raiz:
Usando a identidade trigonométrica
e lembrando que, no intervalo
,
, segue
(É importante justificar o sinal positivo da raiz por causa do intervalo dado.)
Passo 3
Substitua
,
e
na integral original:
No numerador está
. No denominador temos
e
. Agora cancele fatores iguais:
Portanto a integral se reduz a
Passo 4
Integre em
:
onde
é a constante de integração. Agora resta voltar para a variável
.
Passo 5
Voltando para
: da substituição
temos
Uma forma equivalente, muitas vezes mais usada, é escrever em termos do arco-cosseno porque
(válido para
). Assim
Substituindo na primitiva obtida em
, obtemos
que é equivalente a
.
Passo 6
Verificação rápida (controle de erro): calcule a derivada de
. Usando a regra da cadeia,
Como
(para
), isso dá
e multiplicando por
recupera exatamente
. Assim a primitiva está correta.