0 Desafio: (1,0 ponto) Calcule \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-a^{2}}} d x, onde a>0. Dica: Tome x=a \operatorname{sec} (\theta), onde 0<\theta<\frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2}-a^{2}}}
onde a>0. Foi dada a dica de tomar a substituição \;x=a\operatorname{sec}(\theta) com 0<\theta<\frac{\pi}{2}.
Dados importantes extraídos do enunciado:
  • A função a integrar é \dfrac{1}{x\sqrt{x^{2}-a^{2}}}.
  • A constante a é positiva: a>0.
  • A substituição sugerida é \;x=a\operatorname{sec}(\theta) com \;0<\theta<\dfrac{\pi}{2}.
    A pergunta é: encontrar a primitiva (integral indefinida) em termos de x.

Passo 2

Fazendo a substituição indicada. Defina
x = a\operatorname{sec}\theta.
Vamos calcular dx em função de d\theta e também simplificar \sqrt{x^2-a^2}.
Derivando x em relação a \theta obtemos
dx = a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\, d\theta.
Agora calcule a raiz:
\sqrt{x^{2}-a^{2}}=\sqrt{a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta-a^{2}}=a\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1}.
Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta e lembrando que, no intervalo 0<\theta<\frac{\pi}{2}, \tan\theta>0, segue
\sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\tan\theta.
(É importante justificar o sinal positivo da raiz por causa do intervalo dado.)

Passo 3

Substitua x, dx e \sqrt{x^{2}-a^{2}} na integral original:
\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \int \frac{a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\, d\theta}{(a\operatorname{sec}\theta)\,(a\tan\theta)}.
No numerador está dx=a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta. No denominador temos x=a\operatorname{sec}\theta e \sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\tan\theta. Agora cancele fatores iguais:
\frac{a\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{(a\operatorname{sec}\theta)(a\tan\theta)}=\frac{1}{a}.
Portanto a integral se reduz a
\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\int \frac{1}{a}\, d\theta.

Passo 4

Integre em \theta:
\int \frac{1}{a}\, d\theta=\frac{1}{a}\theta + C,
onde C é a constante de integração. Agora resta voltar para a variável x.

Passo 5

Voltando para x: da substituição \;x=a\operatorname{sec}\theta temos
\operatorname{sec}\theta=\frac{x}{a}\quad\Rightarrow\quad \theta=\operatorname{arcsec}\!\left(\frac{x}{a}\right).
Uma forma equivalente, muitas vezes mais usada, é escrever em termos do arco-cosseno porque \cos\theta=\dfrac{a}{x} (válido para x\ge a>0). Assim
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{a}{x}\right).
Substituindo na primitiva obtida em \theta, obtemos
\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\frac{1}{a}\operatorname{arccos}\!\left(\frac{a}{x}\right)+C,
que é equivalente a \dfrac{1}{a}\operatorname{arcsec}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+C.

Passo 6

Verificação rápida (controle de erro): calcule a derivada de \dfrac{1}{a}\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{a}{x}\right). Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\operatorname{arccos}\!\left(\frac{a}{x}\right) =-\frac{1}{\sqrt{1-(a/x)^{2}}}\cdot\left(-\frac{a}{x^{2}}\right) =\frac{a}{x^{2}\sqrt{1-(a/x)^{2}}}.
Como \sqrt{1-(a/x)^{2}}=\dfrac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{x} (para x>0), isso dá
\frac{d}{dx}\operatorname{arccos}\!\left(\frac{a}{x}\right)=\frac{a}{x\sqrt{x^{2}-a^{2}}},
e multiplicando por \dfrac{1}{a} recupera exatamente \dfrac{1}{x\sqrt{x^{2}-a^{2}}}. Assim a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{a}\operatorname{arccos}\!\left(\frac{a}{x}\right)+C

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