Questão 4. (Integrais duplas em coordenadas polares) Calcule as seguintes integrais duplas, usando coordenadas polares:
\iint_{D} x^{2} y d A, onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5 ;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O enunciado pede calcular a integral dupla \iint_{D} x^{2}y\,dA.
  • A região D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5.
    • Ou seja, D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 5^{2},\; y\ge 0\}.
  • O integrando é x^{2}y.
  • A integração deve ser feita usando coordenadas polares (conforme pedido no enunciado).

Passo 2

Explicar as coordenadas polares e a expressão do elemento de área — isso é essencial para transformar a integral.
  • Em coordenadas polares, cada ponto (x,y) é representado por (r,\theta) onde:
    • r\ge 0 é a distância do ponto à origem;
    • \theta é o ângulo que a posição faz com o eixo x, medido em radianos.
  • As relações entre cartesianas e polares são: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.Aqui r e \theta são as novas variáveis de integração.
  • O elemento de área dA em coordenadas polares vale dA = r\,dr\,d\theta.Explicação rápida do porquê: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximados dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Esse fator r é o Jacobiano da transformação.

Passo 3

Determinar os limites de integração para r e \theta correspondentes à metade superior do disco de raio 5.
  • O disco de raio 5 tem 0\le r\le 5.
  • A metade superior (onde y\ge 0) corresponde a ângulos \theta variando de 0 até \pi.
  • Portanto os limites são 0\le r\le 5,\qquad 0\le\theta\le\pi.

Passo 4

Fazer a substituição do integrando em coordenadas polares e montar a integral iterada.
  • O integrando x^{2}y em polares fica x^{2}y = (r\cos\theta)^{2}\,(r\sin\theta) = r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta.
  • Multiplicando pelo elemento de área dA=r\,dr\,d\theta obtemos o integrando final em (r,\theta): x^{2}y\,dA = r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta \cdot r\,dr\,d\theta = r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
  • Assim a integral pedida torna-se \iint_{D} x^{2}y\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{5} r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 5

Separar a integral em produto (quando possível) e calcular a integral em r.
  • Note que o integrando é produto de função de r por função de \theta. Podemos escrever \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{5} r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{5} r^{4}\,dr\right)\left(\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta\right).(Isto é válido porque os limites são produtos e o integrando é separável.)
  • Calcular a parte em r: \int_{0}^{5} r^{4}\,dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{5} = \frac{5^{5}}{5} = 5^{4} = 625.

Passo 6

Calcular a integral angular \displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta usando substituição.
  • Use a substituição u=\cos\theta. Então du = -\sin\theta\,d\theta, ou \sin\theta\,d\theta = -du.
  • Quando \theta=0 tem u=\cos 0 = 1. Quando \theta=\pi tem u=\cos\pi = -1.
  • A integral transforma-se em \int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta = \int_{u=1}^{-1} u^{2}(-du) = \int_{-1}^{1} u^{2}\,du.
  • Calcule: \int_{-1}^{1} u^{2}\,du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3} = \frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}.

Passo 7

Combinar os resultados das integrais em r e em \theta e simplificar.
  • Multiplicando: \iint_{D} x^{2}y\,dA = 625 \times \frac{2}{3} = \frac{1250}{3}.

Resposta

\dfrac{1250}{3}

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