Questão 4. (Integrais duplas em coordenadas polares) Calcule as seguintes integrais duplas, usando coordenadas polares:
, onde
é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5 ;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- O enunciado pede calcular a integral dupla
. - A região
é a metade superior do disco com centro na origem e raio . - Ou seja,
.
- Ou seja,
- O integrando é
. - A integração deve ser feita usando coordenadas polares (conforme pedido no enunciado).
Passo 2
Explicar as coordenadas polares e a expressão do elemento de área — isso é essencial para transformar a integral.
- Em coordenadas polares, cada ponto
é representado por onde: -
é a distância do ponto à origem; -
é o ângulo que a posição faz com o eixo , medido em radianos.
-
- As relações entre cartesianas e polares são:
Aqui e são as novas variáveis de integração. - O elemento de área
em coordenadas polares vale Explicação rápida do porquê: um pequeno retângulo em tem lados aproximados e , então a área é . Esse fator é o Jacobiano da transformação.
Passo 3
Determinar os limites de integração para
e
correspondentes à metade superior do disco de raio
.
- O disco de raio
tem . - A metade superior (onde
) corresponde a ângulos variando de até . - Portanto os limites são
Passo 4
Fazer a substituição do integrando em coordenadas polares e montar a integral iterada.
- O integrando
em polares fica - Multiplicando pelo elemento de área
obtemos o integrando final em : - Assim a integral pedida torna-se
Passo 5
Separar a integral em produto (quando possível) e calcular a integral em
.
- Note que o integrando é produto de função de
por função de . Podemos escrever (Isto é válido porque os limites são produtos e o integrando é separável.) - Calcular a parte em
:
Passo 6
Calcular a integral angular
usando substituição.
- Use a substituição
. Então , ou . - Quando
tem . Quando tem . - A integral transforma-se em
- Calcule:
Passo 7
Combinar os resultados das integrais em
e em
e simplificar.
- Multiplicando: