Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regioes dadas:
integral duplaR e^x+3 y d A, R=[0,3] times[0,1]

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla de ,e^x+3y sobre o retângulo
R = [0,3]times[0,1]
O conteúdo aqui é aplicar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em duas integrais iteradas e usar a separabilidade da função exponencial.

Passo 2

Pela regra de Fubini podemos escrever
integral duplaR e^x+3y,dA = integralx=0^3!integraly=0^1 e^x+3y,dy,dx

Passo 3

Note que
e^x+3y = e^xcdot e^3y,
ou seja, a função se separa em produto de algo que depende só de x por algo que depende só de y. Assim, podemos fatorar e^x para fora da integral em y:
integralx=0^3!integraly=0^1 e^x+3y,dy,dx = integralx=0^3 e^xl(,integraly=0^1 e^3y,dyr),dx

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em y:
integraly=0^1 e^3y,dy = l[tfrac13e^3yr]0^1 = e^3 - 13

Passo 5

Agora a integral em x:
integralx=0^3 e^x,dx = l[e^xr]0^3 = e^3 - 1

Passo 6

Multiplicando os resultados das duas integrais, obtemos
integral duplaR e^x+3y,dA = l(e^3 - 1r)times e^3 - 13 = (e^3 - 1)^23

Resposta

(e^3 - 1)^23

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