(Níveis de oxigênio na água) A taxa de variação do nível de oxigênio na água após um derramamento de petróleo é dada por d Pd t=400[5(t+5)^2-50(t+5)^3] onde t é o número de meses após o derramamento. Qual é a função que fornece o nível de oxigênio P em qualquer instante t se P=400 quando t=0 ?
R: P(t)=400[1-5 /(t+5)+25 /(t+5)^2]

Passo 1

Enunciado: temos a taxa de variação dPdt=400l[tfrac5(t+5)^2 - tfrac50(t+5)^3r] do nível de oxigênio e queremos achar P(t) tal que P(0)=400; o conteúdo é integração de funções do tipo (t+5)^n.

Passo 2

Reescrevemos a derivada separando os termos: dPdt=400l[5(t+5)^-2-50(t+5)^-3r] e preparamos para integrar cada potência.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência: integral (t+5)^-2dt=-(t+5)^-1 e integral (t+5)^-3dt=-tfrac12(t+5)^-2. Assim,
P(t)=400l[-tfrac5t+5+tfrac25(t+5)^2r]+C.

Passo 4

Usamos a condição inicial P(0)=400: ao substituir t=0 o colchete vale zero, logo C=400.

Resposta

P(t)=400[1-5t+5+25(t+5)^2]

Exercícios relacionados