(Objeto em queda) Um paraquedista com o seu paraquedas pesa 70 kg e salta de uma altura de 1500 metros. O paraquedas abre automaticamente após 10 segundo de queda. Determine a velocidade que o paraquedista atinge no momento que o paraquedas abre. Como varia a altura em função do tempo? Quantos metros o paraquedista caiu até o instante em que o paraquedas abre? Convenciona-se que o sentido positivo é para cima e que a origem está na superfície da terra. Até o momento em que o paraquedas abre a velocidade é a solução do problema de valor inicial:
. Considere
e a resistência do ar é desprezada.
Passo 1
Resumo: o enunciado pede a velocidade atingida pelo paraquedista em queda livre após 10 s, a lei que descreve a altura em função do tempo e a distância percorrida até a abertura do paraquedas. O modelo é queda livre sem resistência do ar, ou seja, a EDO é m dv/dt = –m g com v(0)=0 e g=10 m/s².
Passo 2
Resolver a EDO de velocidade: integrar
fazendo a integral em relação ao tempo, obtemos
Usando v(0)=0, vemos que C=0. Logo,
Passo 3
Determinar v(10): basta substituir t=10 s em
com g=10 m/s². Assim,
Passo 4
Encontrar y(t): como
, integramos
para ter
Impondo y(0)=1500 m (altura inicial), obtemos D=1500. Logo,
Passo 5
Calcular a distância caída até 10 s: é a diferença entre y(0) e y(10). Temos y(0)=1500 e y(10)=1500 - 5·100 = 1000. Portanto a queda foi de 1500 - 1000 = 500 metros.
Resposta
Velocidade ao abrir o paraquedas: -100 m/s (para baixo)
Altura em função do tempo:
(em metros)
Distância caída até 10 s: 500 m