Explique por que a função é diferenciável no ponto dado.
A seguir, encontre a linearização L(x, y) da função naquele ponto.
f(x, y)=x \sqrt{y},
(1,1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=x\sqrt{y}
é diferenciável no ponto (1,1) e, em seguida, obter sua linearização L(x,y) nesse ponto. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais e o critério de diferenciabilidade em várias variáveis: se as derivadas parciais existem e são contínuas num entorno de um ponto, então a função é diferenciável ali.

Passo 2

Observe que f(x,y) é o produto de duas funções mais simples:
g(x,y)=x,
que é claramente diferenciável em todo \mathbb{R}^2, e
h(x,y)=\sqrt{y},
que é diferenciável para y>0. Como y=1>0, ambas são diferenciáveis num entorno de (1,1). O produto de funções diferenciáveis também é diferenciável, logo f é diferenciável em (1,1).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\sqrt{y}\bigr)=\sqrt{y},
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\sqrt{y}\bigr) =x\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}} =\frac{x}{2\sqrt{y}}.
Avaliado em (1,1), temos
f_x(1,1)=\sqrt{1}=1,
f_y(1,1)=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\tfrac12.

Passo 4

A linearização de f em (1,1) é dada por
L(x,y) = f(1,1) +f_x(1,1)\,(x-1) +f_y(1,1)\,(y-1).
Como f(1,1)=1\sqrt{1}=1, substituímos para obter
L(x,y) =1 +1\,(x-1) +\tfrac12\,(y-1) =1+(x-1)+\frac{y-1}{2}.
Podemos reescrever de forma mais compacta:
L(x,y)=x+\frac{y}{2}-\frac12.

Resposta

A função é diferenciável em (1,1) pois é produto de funções diferenciáveis cujas derivadas parciais são contínuas perto desse ponto.
A linearização é
L(x,y)=1+(x-1)+\tfrac12(y-1),
ou, equivalentemente,
L(x,y)=x+\frac y2-\frac12.

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