Explique por que a função é diferenciável no ponto dado.
A seguir, encontre a linearização
da função naquele ponto.
,
A seguir, encontre a linearização
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável no ponto
e, em seguida, obter sua linearização
nesse ponto. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais e o critério de diferenciabilidade em várias variáveis: se as derivadas parciais existem e são contínuas num entorno de um ponto, então a função é diferenciável ali.
Passo 2
Observe que
é o produto de duas funções mais simples:
que é claramente diferenciável em todo
, e
que é diferenciável para
. Como
, ambas são diferenciáveis num entorno de
. O produto de funções diferenciáveis também é diferenciável, logo
é diferenciável em
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
:
Avaliado em
, temos
Passo 4
A linearização de
em
é dada por
Como
, substituímos para obter
Podemos reescrever de forma mais compacta:
Resposta
A função é diferenciável em
pois é produto de funções diferenciáveis cujas derivadas parciais são contínuas perto desse ponto.
A linearização é
A linearização é
ou, equivalentemente,