Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função.
z=(2 x+3 y)^{10}

Passo 1

O enunciado pede encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função z=(2x+3y)^{10}. Vamos usar a regra da cadeia, já que temos uma função composta: potência de uma expressão linear em x e y.

Passo 2

Para calcular as derivadas parciais de primeira ordem, aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x} = 10(2x+3y)^{9}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2x+3y) = 10(2x+3y)^{9}\cdot2 = 20(2x+3y)^{9}.
\frac{\partial z}{\partial y} = 10(2x+3y)^{9}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2x+3y) = 10(2x+3y)^{9}\cdot3 = 30(2x+3y)^{9}.

Passo 3

Para as derivadas parciais de segunda ordem, derivamos as parciais de primeira ordem:
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(20(2x+3y)^{9}\bigr) = 20\cdot9(2x+3y)^{8}\cdot2 = 360(2x+3y)^{8}.
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(30(2x+3y)^{9}\bigr) = 30\cdot9(2x+3y)^{8}\cdot3 = 810(2x+3y)^{8}.
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(20(2x+3y)^{9}\bigr) = 20\cdot9(2x+3y)^{8}\cdot3 = 540(2x+3y)^{8}.
Por simetria, \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=540(2x+3y)^{8}.

Resposta

z_x = 20(2x+3y)^9 z_y = 30(2x+3y)^9 z_{xx} = 360(2x+3y)^8 z_{xy} = z_{yx} = 540(2x+3y)^8 z_{yy} = 810(2x+3y)^8

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