Calcule as seguintes integrais duplas sobre os retângulos dados:
a) integral duplaR cos (x+2 y) d A, R=(x, y): 0 <= x <= pi, 0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaR cos (x+2 y) , dA onde a região R é um retângulo definido por 0 <= x <= pi e 0 <= y <= 1. Vamos precisar usar os conceitos de integrais duplas e integração em regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre um retângulo pode ser separada em duas integrais simples. Isso significa que podemos integrar em relação a x e depois em relação a y, ou vice-versa. Aqui, vamos optar por integrar primeiro em relação a x.

Passo 3

Então, reescrevemos a integral dupla como uma integral iterada:
integral0^1 ( integral0^pi cos(x + 2y) , dx ) dy
Isso significa que primeiro integramos cos(x + 2y) em relação a x, enquanto tratamos y como uma constante.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna integral0^pi cos(x + 2y) , dx. Para isso, usamos a fórmula de integração de funções trigonométricas:
integral cos(u) , du = sin(u) + C
Aqui, u = x + 2y, então a integral fica:
sin(x + 2y) |0^pi = sin(pi + 2y) - sin(0 + 2y)

Passo 5

Simplificando os valores das funções seno:
sin(pi + 2y) = -sin(2y)
sin(2y) = sin(2y)
Portanto, a diferença fica:
-sin(2y) - sin(2y) = -2sin(2y)

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
integral0^1 -2sin(2y) , dy
Vamos integrar -2sin(2y) em relação a y.

Passo 7

Usamos a fórmula de integração:
integral sin(ku) , du = -1kcos(ku) + C
Aqui, k = 2, então:
-2 ( -12cos(2y) ) = cos(2y)
A integral se torna:
cos(2y) |0^1 = cos(2 cdot 1) - cos(2 cdot 0)

Passo 8

Calculando os valores das funções cosseno:
cos(2) - cos(0) = cos(2) - 1
Isso nos dá o valor final da integral dupla.

Resposta

O valor da integral dupla é cos(2) - 1.

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