Calcule as seguintes integrais duplas sobre os retângulos dados:
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla onde a região é um retângulo definido por e . Vamos precisar usar os conceitos de integrais duplas e integração em regiões retangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre um retângulo pode ser separada em duas integrais simples. Isso significa que podemos integrar em relação a e depois em relação a , ou vice-versa. Aqui, vamos optar por integrar primeiro em relação a .
Passo 3
Então, reescrevemos a integral dupla como uma integral iterada:
Isso significa que primeiro integramos em relação a , enquanto tratamos como uma constante.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna . Para isso, usamos a fórmula de integração de funções trigonométricas:
Aqui, , então a integral fica:
Passo 5
Simplificando os valores das funções seno:
sin(pi + 2y) = -sin(2y)
sin(2y) = sin(2y)
Portanto, a diferença fica:
-sin(2y) - sin(2y) = -2sin(2y)
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa: