Verifique se as seguintes funções são contínuas.
g) y=f(x)= [[x+3]] & x<0 (x+1)^3-1x & x>0

Passo 1

Estamos com a função pedaço‐a‐pedaço
f(x)=[[x+3]],&x<0,(x+1)^3-1x,&x>0,
O conteúdo é análise de continuidade: vamos usar propriedades de funções constantes (piso), polinomiais e limites laterais.

Passo 2

Para x>0 simplificamos
$$\frac{(x+1)3-1}{x}=\frac{x3+3x2+3x+1-1}{x}=x2+3x+3.
$$
Como polinômios são contínuos em todo (x+1)^3-1x=x^3+3x^2+3x+1-1x=x^2+3x+3 , concluímos que f é contínua para x>0.

Passo 3

Para x<0 temos f(x)=[[x+3]], a parte inteira de x+3. Essa função é constante em cada intervalo aberto entre inteiros e só salta quando x+3 é inteiro, isto é, em x=k-3 para k∈ℤ. Logo f é contínua em cada intervalo onde x+3∉ℤ, mas tem descontinuidades de salto em x=k-3 (com k∈ℤ e k-3<0).

Passo 4

No ponto de junção x=0 calculamos os limites:
Para x→0^- temos x+3→3^- e [[3^-]]=2.
Para x→0^+ temos x^2+3x+3→3.
Como 2≠3, os limites laterais não coincidem e f não pode ser contínua em x=0.

Resposta

A função é contínua para x>0 (é um polinômio) e, em x<0, é contínua nos intervalos em que x+3∉ℤ, mas tem descontinuidades de salto nos pontos x=k-3 (k∈ℤ). Além disso, em x=0 os limites laterais são diferentes, logo f não é contínua em x=0.

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