Verifique se as seguintes funções são contínuas.
g)
g)
Passo 1
Estamos com a função pedaço‐a‐pedaço
O conteúdo é análise de continuidade: vamos usar propriedades de funções constantes (piso), polinomiais e limites laterais.
Passo 2
Para x>0 simplificamos
$$\frac{(x+1)3-1}{x}=\frac{x3+3x2+3x+1-1}{x}=x2+3x+3.
$$
Como polinômios são contínuos em todo , concluímos que f é contínua para x>0.
Como polinômios são contínuos em todo
Passo 3
Para x<0 temos f(x)=[[x+3]], a parte inteira de x+3. Essa função é constante em cada intervalo aberto entre inteiros e só salta quando x+3 é inteiro, isto é, em x=k-3 para k∈ℤ. Logo f é contínua em cada intervalo onde x+3∉ℤ, mas tem descontinuidades de salto em x=k-3 (com k∈ℤ e k-3<0).
Passo 4
No ponto de junção x=0 calculamos os limites:
Para x→0^- temos x+3→3^- e [[3^-]]=2.
Para x→0^+ temos x^2+3x+3→3.
Como 2≠3, os limites laterais não coincidem e f não pode ser contínua em x=0.
Para x→0^- temos x+3→3^- e [[3^-]]=2.
Para x→0^+ temos x^2+3x+3→3.
Como 2≠3, os limites laterais não coincidem e f não pode ser contínua em x=0.
Resposta
A função é contínua para x>0 (é um polinômio) e, em x<0, é contínua nos intervalos em que x+3∉ℤ, mas tem descontinuidades de salto nos pontos x=k-3 (k∈ℤ). Além disso, em x=0 os limites laterais são diferentes, logo f não é contínua em x=0.