Verifique se as seguintes funções são contínuas:
b)
Passo 1
O enunciado pede pra verificar a continuidade das funções
e
. O conteúdo é continuidade de funções reais, e vamos usar a definição de continuidade e o fato de que funções elementares (linear, arco-senh, cosseno) são contínuas em seus domínios, além de que a composição de funções contínuas também é contínua.
Passo 2
Para usar a definição rigorosa, lembramos que uma função
é contínua em um ponto
se
. Mas também sabemos que funções básicas como
,
e
são contínuas em todo
. Além disso, o teorema da composição nos diz que, se
e
são contínuas, então
também é contínua em todos os pontos onde está bem definida.
Passo 3
No caso de
, temos duas funções contínuas: a linear
e
, que é contínua em
pois deriva de funções exponenciais via
. Pelo teorema da composição, a composição
é contínua em todo
.
Passo 4
Para
, aplicamos o mesmo raciocínio: a função linear
é contínua e
é contínua em todo
. Logo, a composição
é contínua em todo
.
Resposta
As duas funções são contínuas para todo
.