Verifique se as seguintes funções são contínuas:
f(x)=argsenh(2 x) b) f(x)=cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede pra verificar a continuidade das funções f(x)=argsenh(2x) e f(x)=cos(2x). O conteúdo é continuidade de funções reais, e vamos usar a definição de continuidade e o fato de que funções elementares (linear, arco-senh, cosseno) são contínuas em seus domínios, além de que a composição de funções contínuas também é contínua.

Passo 2

Para usar a definição rigorosa, lembramos que uma função g é contínua em um ponto x0 se limxto x0g(x)=g(x0). Mas também sabemos que funções básicas como h(x)=2x, argsenh(x) e cos(x) são contínuas em todo R. Além disso, o teorema da composição nos diz que, se u(x) e v(x) são contínuas, então u(v(x)) também é contínua em todos os pontos onde está bem definida.

Passo 3

No caso de f(x)=argsenh(2x), temos duas funções contínuas: a linear h(x)=2x e argsenh(x), que é contínua em R pois deriva de funções exponenciais via argsenh(x)=lnl(x+raizx^2+1r). Pelo teorema da composição, a composição argsenh(h(x))=argsenh(2x) é contínua em todo R.

Passo 4

Para f(x)=cos(2x), aplicamos o mesmo raciocínio: a função linear 2x é contínua e cos(x) é contínua em todo R. Logo, a composição cos(2x) é contínua em todo R.

Resposta

As duas funções são contínuas para todo xinR.

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