Verifique se as seguintes funções são contínuas.
b)
b)
Passo 1
O problema é verificar a continuidade da função por partes
Conteúdo: continuidade de funções definidas por partes; vamos precisar analisar limites laterais e valores da função nos pontos críticos.
Passo 2
Para x\neq2,3 note que
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Isso significa que f(x)=1 quando (x-2)(x-3)>0 e f(x)=-1 quando (x-2)(x-3)<0.
Passo 3
Analisando sinais: em x<2 temos (x-2)<0 e (x-3)<0, produto>0 ⇒ f(x)=1; em 2<x<3 temos produto<0 ⇒ f(x)=-1; em x>3 produto>0 ⇒ f(x)=1. Como em cada região f é constante, ela é contínua para x≠2,3.
Passo 4
Verificação nos pontos críticos:
Para x→2⁻ vem f(x)=1; para x→2⁺ vem f(x)=-1. Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe em x=2, logo há descontinuidade em x=2.
Para x→3⁻ vem f(x)=-1; para x→3⁺ vem f(x)=1. Também há descontinuidade em x=3, independentemente dos valores f(2)=1 e f(3)=9.
Para x→2⁻ vem f(x)=1; para x→2⁺ vem f(x)=-1. Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe em x=2, logo há descontinuidade em x=2.
Para x→3⁻ vem f(x)=-1; para x→3⁺ vem f(x)=1. Também há descontinuidade em x=3, independentemente dos valores f(2)=1 e f(3)=9.
Resposta
A função é contínua para todo x≠2,3 e descontinua em x=2 e em x=3.