Verifique se as seguintes funções são contínuas.
b) y=f(x)= |x^2-5 x+6|x^2-5 x+6 & x neq 2,3 1 & x=2 9 & x=3

Passo 1

O problema é verificar a continuidade da função por partes
y=f(x)=lvert x^2-5x+6rvertx^2-5x+6&xneq2,31&x=29&x=3
Conteúdo: continuidade de funções definidas por partes; vamos precisar analisar limites laterais e valores da função nos pontos críticos.

Passo 2

Para x\neq2,3 note que
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)
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f(x)=lvert(x-2)(x-3)rvert(x-2)(x-3)=sgnl((x-2)(x-3)r)
Isso significa que f(x)=1 quando (x-2)(x-3)>0 e f(x)=-1 quando (x-2)(x-3)<0.

Passo 3

Analisando sinais: em x<2 temos (x-2)<0 e (x-3)<0, produto>0 ⇒ f(x)=1; em 2<x<3 temos produto<0 ⇒ f(x)=-1; em x>3 produto>0 ⇒ f(x)=1. Como em cada região f é constante, ela é contínua para x≠2,3.

Passo 4

Verificação nos pontos críticos:
Para x→2⁻ vem f(x)=1; para x→2⁺ vem f(x)=-1. Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe em x=2, logo há descontinuidade em x=2.
Para x→3⁻ vem f(x)=-1; para x→3⁺ vem f(x)=1. Também há descontinuidade em x=3, independentemente dos valores f(2)=1 e f(3)=9.

Resposta

A função é contínua para todo x≠2,3 e descontinua em x=2 e em x=3.

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