Calcule as seguintes integrais duplas utilizando coordenadas polares
, onde
e
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Pede calcular a integral dupla
. - A região
é dada por . - Em palavras:
é o quarto de disco de raio situado no primeiro quadrante (porque e ).
Resposta final esperada: um número real que representa o valor da integral sobre esse quarto de disco.
Passo 2
Motivação para usar coordenadas polares e transformação:
- Em coordenadas polares usamos as substituições
, onde é a distância ao origem e é o ângulo medido a partir do eixo . - Ao mudar de variáveis para polares, o elemento de área
vira . Esse fator chama-se jacobiano da transformação; ele aparece porque pequenos retângulos em correspondem a sectores polares com área aproximadamente . - Agora transformar a função integranda:
. Substituindo e , obtemos
- Multiplicando pelo jacobiano
do elemento de área, o integrando na nova variável fica
Passo 3
Determinar os limites de integração em polares:
- Como a região é o quarto de disco de raio
no primeiro quadrante, o raio varia de a e o ângulo varia de a (primeiro quadrante). - Portanto a integral dupla em coordenadas polares fica
Passo 4
Separar integráveis e justificar troca de ordem:
- Note que o integrando é produto de uma função de
( ) e uma função de ( ), então podemos separar a integral em produto de integrais:
- Essa separação é válida porque as integrais são de funções contínuas em um domínio compacto, logo a integral absoluta converte e Fubini/Tonelli permitem a separação.
Passo 5
Calcular cada integral separadamente com passos intermediários:
- Calcular a integral em
:
- Calcular a integral em
:
- Multiplicando os resultados: