Calcule as seguintes integrais duplas utilizando coordenadas polares
\iint_{R} x\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \geq 0, y \geq 0\right. e \left.x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede calcular a integral dupla \iint_{R} x\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy.
  • A região R é dada por \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; x\ge0,\; y\ge0,\; x^{2}+y^{2}\le1\}.
  • Em palavras: R é o quarto de disco de raio 1 situado no primeiro quadrante (porque x\ge0 e y\ge0).
    Resposta final esperada: um número real que representa o valor da integral sobre esse quarto de disco.

Passo 2

Motivação para usar coordenadas polares e transformação:
  • Em coordenadas polares usamos as substituições \;x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta\;, onde \;r\ge0\; é a distância ao origem e \;\theta\; é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • Ao mudar de variáveis para polares, o elemento de área dx\,dy vira \;r\,dr\,d\theta\;. Esse fator r chama-se jacobiano da transformação; ele aparece porque pequenos retângulos em (x,y) correspondem a sectores polares com área aproximadamente r\,\Delta r\,\Delta\theta.
  • Agora transformar a função integranda: \;x(x^{2}+y^{2}). Substituindo \;x=r\cos\theta\; e \;x^{2}+y^{2}=r^{2}\;, obtemos
x(x^{2}+y^{2}) = (r\cos\theta)\cdot r^{2} = r^{3}\cos\theta.
  • Multiplicando pelo jacobiano \;r\; do elemento de área, o integrando na nova variável fica \;r^{3}\cos\theta\cdot r = r^{4}\cos\theta.

Passo 3

Determinar os limites de integração em polares:
  • Como a região é o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante, o raio varia de \;0 a \;1 e o ângulo varia de \;0 a \tfrac{\pi}{2} (primeiro quadrante).
  • Portanto a integral dupla em coordenadas polares fica
\iint_{R} x(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} r^{4}\cos\theta \;dr\,d\theta.

Passo 4

Separar integráveis e justificar troca de ordem:
  • Note que o integrando é produto de uma função de r ( r^{4}) e uma função de \theta ( \cos\theta), então podemos separar a integral em produto de integrais:
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1} r^{4}\cos\theta \;dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{1} r^{4}\,dr\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta \;d\theta\right).
  • Essa separação é válida porque as integrais são de funções contínuas em um domínio compacto, logo a integral absoluta converte e Fubini/Tonelli permitem a separação.

Passo 5

Calcular cada integral separadamente com passos intermediários:
  • Calcular a integral em r:
\int_{0}^{1} r^{4}\,dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{5}}{5}-0 = \frac{1}{5}.
  • Calcular a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta \;d\theta = \left[\sin\theta\right]_{0}^{\pi/2} = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin(0)=1-0=1.
  • Multiplicando os resultados:
\left(\frac{1}{5}\right)\cdot 1 = \frac{1}{5}.

Resposta

\dfrac{1}{5}

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