Questão 1. Calcule cada uma das seguintes integrais: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo, especificamente em integrais racionais. Para resolver, vamos precisar usar a divisão polinomial e a decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o grau do numerador e do denominador. O numerador é um polinômio de grau 4 e o denominador é de grau 3. Quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, a primeira coisa a fazer é realizar a divisão polinomial.
Passo 3
Vamos dividir por .
Dividindo por , obtemos .
Multiplicamos pelo denominador: .
Subtraímos esse resultado do numerador original:
Passo 4
Agora, repetimos o processo com o novo polinômio :
Dividindo por , obtemos .
Multiplicamos pelo denominador: .
Subtraímos esse resultado do polinômio atual:
Passo 5
Agora, a divisão terminou, e temos:
Agora precisamos integrar cada parte separadamente.
Passo 6
Vamos focar na fração restante . Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, nossa fração fica:
Passo 7
Vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar as frações:
Passo 8
Expanda o lado direito:
Combine os termos semelhantes:
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o terceiro equação: 5A = 4 Rightarrow A = 45
Substituindo A na primeira equação: 45 + B = 22 Rightarrow B = 22 - 45 = 1105 - 45 = 1065
Substituindo A na segunda equação: 4 cdot 45 + C = 45 Rightarrow 165 + C = 45 Rightarrow C = 45 - 165 = 2255 - 165 = 2095
Passo 10
Agora, podemos escrever a decomposição em frações parciais: