Questão 1. Calcule cada uma das seguintes integrais:
integral 2 x^4+5 x+4x^3+4 x^2+5 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 2 x^4+5 x+4x^3+4 x^2+5 x , dx. Esse exercício está na área de cálculo, especificamente em integrais racionais. Para resolver, vamos precisar usar a divisão polinomial e a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o grau do numerador e do denominador. O numerador é um polinômio de grau 4 e o denominador é de grau 3. Quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, a primeira coisa a fazer é realizar a divisão polinomial.

Passo 3

Vamos dividir 2x^4 + 5x + 4 por x^3 + 4x^2 + 5x.
  • Dividindo 2x^4 por x^3, obtemos 2x.
  • Multiplicamos 2x pelo denominador: 2x cdot (x^3 + 4x^2 + 5x) = 2x^4 + 8x^3 + 10x^2.
  • Subtraímos esse resultado do numerador original: (2x^4 + 5x + 4) - (2x^4 + 8x^3 + 10x^2) = -8x^3 - 10x^2 + 5x + 4

Passo 4

Agora, repetimos o processo com o novo polinômio -8x^3 - 10x^2 + 5x + 4:
  • Dividindo -8x^3 por x^3, obtemos -8.
  • Multiplicamos -8 pelo denominador: -8 cdot (x^3 + 4x^2 + 5x) = -8x^3 - 32x^2 - 40x.
  • Subtraímos esse resultado do polinômio atual: (-8x^3 - 10x^2 + 5x + 4) - (-8x^3 - 32x^2 - 40x) = 22x^2 + 45x + 4

Passo 5

Agora, a divisão terminou, e temos:
2x^4 + 5x + 4x^3 + 4x^2 + 5x = 2x - 8 + 22x^2 + 45x + 4x^3 + 4x^2 + 5x
Agora precisamos integrar cada parte separadamente.

Passo 6

Vamos focar na fração restante 22x^2 + 45x + 4x^3 + 4x^2 + 5x. Primeiro, fatoramos o denominador:
x^3 + 4x^2 + 5x = x(x^2 + 4x + 5)
Então, nossa fração fica:
22x^2 + 45x + 4x(x^2 + 4x + 5)

Passo 7

Vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
22x^2 + 45x + 4x(x^2 + 4x + 5) = Ax + Bx + Cx^2 + 4x + 5
Multiplicamos ambos os lados por x(x^2 + 4x + 5) para eliminar as frações:
22x^2 + 45x + 4 = A(x^2 + 4x + 5) + (Bx + C)x

Passo 8

Expanda o lado direito:
22x^2 + 45x + 4 = A x^2 + 4A x + 5A + Bx^2 + Cx
Combine os termos semelhantes:
22x^2 + 45x + 4 = (A + B)x^2 + (4A + C)x + 5A

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 22 4A + C = 45 5A = 4
Resolvendo o terceiro equação: 5A = 4 Rightarrow A = 45
Substituindo A na primeira equação: 45 + B = 22 Rightarrow B = 22 - 45 = 1105 - 45 = 1065
Substituindo A na segunda equação: 4 cdot 45 + C = 45 Rightarrow 165 + C = 45 Rightarrow C = 45 - 165 = 2255 - 165 = 2095

Passo 10

Agora, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
22x^2 + 45x + 4x(x^2 + 4x + 5) = 45x + 1065x + 2095x^2 + 4x + 5
Simplificando:
45x + 106x + 2095(x^2 + 4x + 5)

Passo 11

Agora, voltamos à integral original:
integral 2x^4 + 5x + 4x^3 + 4x^2 + 5x , dx = integral (2x - 8) , dx + integral ( 45x + 106x + 2095(x^2 + 4x + 5) ) , dx
Vamos integrar cada parte separadamente.

Passo 12

Integrando 2x - 8:
integral (2x - 8) , dx = x^2 - 8x
Integrando 45x:
integral 45x , dx = 45 ln |x|
Integrando 106x + 2095(x^2 + 4x + 5):
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x + 2)^2 + 1
Então, a integral fica:
1065 integral x(x + 2)^2 + 1 , dx + 2095 integral 1(x + 2)^2 + 1 , dx
Fazendo a substituição u = x + 2, du = dx:
1065 cdot 12 ln |(x + 2)^2 + 1| + 2095 arctan(x + 2)

Passo 13

Finalmente, juntando todas as partes integradas:
x^2 - 8x + 45 ln |x| + 535 ln((x + 2)^2 + 1) + 2095 arctan(x + 2) + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a
x^2 - 8x + 45 ln|x| + 535 ln((x + 2)^2 + 1) + 2095 arctan(x + 2) + C

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