Calcule as seguintes integrais e esboce a região
determinada pelos limites de integração. Afirme em cada caso se a região é do tipo I, II ou III.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral iterada
e pede três coisas:
- Calcular o valor da integral.
- Esboçar a região
determinada pelos limites de integração. - Dizer se a região é do tipo I, II ou III.
Informações fornecidas:
- A variável externa é
com . - Para cada
nesse intervalo, varia entre (limite inferior) e (limite superior). - O integrando é
(pois está apenas ).
Passo 2
Interpretação do integrando e significado geométrico.
- Como o integrando é
, a integral dupla representa a área da região no plano :
- Para resolver, procede-se integrando primeiro em
e depois em .
Passo 3
Calcular a integral interna em
.
- A primitiva de
em relação a é . Então
- Assim a integral iterada vira uma integral em
só:
Passo 4
Calcular a integral em
.
- A primitiva de
é . A primitiva de é . Portanto
- Avaliando nos extremos:
Passo 5
Descrever e esboçar a região
.
- Em forma de conjunto:
- Limites e curvas que a limitam:
- Curva superior:
(uma exponencial passando por e ). - Curva inferior:
(reta horizontal). - Linhas verticais de contorno:
e .
- Curva superior:
- Como esboçar (passo a passo):
- Desenhe os eixos
- e -. - Marque a reta horizontal
. - Desenhe a curva
entre e ; em ela tem , em tem . - Trace as linhas
e e sombree a região entre e para .
- Desenhe os eixos
- Observação: a região é limitada à direita por
e à esquerda por ; no ponto as duas curvas se encontram em .
Passo 6
Verificação se a região é do tipo I, II ou III.
- Definições rápidas e intuitivas:
- Tipo I (simples em
): pode ser escrita como . - Tipo II (simples em
): pode ser escrita como . - Tipo III: regiões que não são simples nem em
nem em sem dividir em partes.
- Tipo I (simples em
- A descrição dada já é exatamente do tipo I:
e . Portanto é do tipo I. - Adicionalmente, é possível descrever
também como tipo II: resolver dá . Como varia entre e , tem-se a descrição
ou seja, a região é simples também em
. Conclusão: a região é simultaneamente tipo I e tipo II (não é necessário classificá-la como tipo III).
Resposta
Tipo I (simples em