Calcule as seguintes integrais e esboce a região \mathcal{R} determinada pelos limites de integração. Afirme em cada caso se a região é do tipo I, II ou III.
\int_{0}^{1} \int_{1}^{e^{x}} d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{1}^{e^{x}} dy\,dx
e pede três coisas:
  • Calcular o valor da integral.
  • Esboçar a região \mathcal{R} determinada pelos limites de integração.
  • Dizer se a região é do tipo I, II ou III.
Informações fornecidas:
  • A variável externa é x com 0\le x\le1.
  • Para cada x nesse intervalo, y varia entre y=1 (limite inferior) e y=e^{x} (limite superior).
  • O integrando é 1 (pois está apenas dy\,dx).

Passo 2

Interpretação do integrando e significado geométrico.
  • Como o integrando é 1, a integral dupla representa a área da região \mathcal{R} no plano xy:
\text{Área}(\mathcal{R})=\int_{0}^{1}\int_{1}^{e^{x}} 1\;dy\,dx.Á
  • Para resolver, procede-se integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 3

Calcular a integral interna em y.
  • A primitiva de 1 em relação a y é y. Então
\int_{1}^{e^{x}} dy = \bigl[y\bigr]_{y=1}^{y=e^{x}} = e^{x}-1.
  • Assim a integral iterada vira uma integral em x só:
\int_{0}^{1}\bigl(e^{x}-1\bigr)\,dx.

Passo 4

Calcular a integral em x.
  • A primitiva de e^{x} é e^{x}. A primitiva de 1 é x. Portanto
\int_{0}^{1}\bigl(e^{x}-1\bigr)\,dx = \bigl[e^{x}-x\bigr]_{0}^{1}.
  • Avaliando nos extremos:
\bigl(e^{1}-1\bigr)-\bigl(e^{0}-0\bigr) = (e-1)-(1-0)=e-2.

Passo 5

Descrever e esboçar a região \mathcal{R}.
  • Em forma de conjunto:
\mathcal{R}=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;1\le y\le e^{x}\}.
  • Limites e curvas que a limitam:
    • Curva superior: y=e^{x} (uma exponencial passando por (0,1) e (1,e)).
    • Curva inferior: y=1 (reta horizontal).
    • Linhas verticais de contorno: x=0 e x=1.
  • Como esboçar (passo a passo):
    1. Desenhe os eixos x- e y-.
    2. Marque a reta horizontal y=1.
    3. Desenhe a curva y=e^{x} entre x=0 e x=1; em x=0 ela tem y=1, em x=1 tem y=e.
    4. Trace as linhas x=0 e x=1 e sombree a região entre y=1 e y=e^{x} para 0\le x\le1.
  • Observação: a região é limitada à direita por x=1 e à esquerda por x=0; no ponto x=0 as duas curvas se encontram em (0,1).

Passo 6

Verificação se a região é do tipo I, II ou III.
  • Definições rápidas e intuitivas:
    • Tipo I (simples em x): pode ser escrita como \{(x,y): a\le x\le b,\; g_1(x)\le y\le g_2(x)\}.
    • Tipo II (simples em y): pode ser escrita como \{(x,y): c\le y\le d,\; h_1(y)\le x\le h_2(y)\}.
    • Tipo III: regiões que não são simples nem em x nem em y sem dividir em partes.
  • A descrição dada já é exatamente do tipo I: 0\le x\le1 e 1\le y\le e^{x}. Portanto \mathcal{R} é do tipo I.
  • Adicionalmente, é possível descrever \mathcal{R} também como tipo II: resolver y\le e^{x} x\ge \ln y. Como y varia entre 1 e e, tem-se a descrição
\mathcal{R}=\{(x,y)\mid 1\le y\le e,\;\ln y\le x\le1\},
ou seja, a região é simples também em y. Conclusão: a região é simultaneamente tipo I e tipo II (não é necessário classificá-la como tipo III).

Resposta

\displaystyle e-2
\displaystyle \mathcal{R}=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;1\le y\le e^{x}\}
Tipo I (simples em x); também é simples em y (portanto é do tipo II também, não é tipo III).

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