Calcule o volume do sólido limitado por z=x^{2}+y, o retângulo D=[0,1] \times[1,2], e os lados verticais de D.

Passo 1

O problema pede para calcular o volume do sólido limitado pela superfície z=x^{2}+y, pelo retângulo D=[0,1]\times[1,2] no plano xy e pelos planos verticais sobre as arestas de D.
Informações dadas:
  • A superfície que limita o sólido é z=x^{2}+y.
  • A base (projeção no plano xy) é o retângulo D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;1\le y\le2\}.
  • As faces laterais são os planos verticais sobre as bordas de D.
O que se pede:
  • Calcular o volume do sólido descrito acima.

Passo 2

Ideia e fórmula que vou usar (explicando didaticamente). Quando um sólido é limitado superiormente por uma função z=f(x,y) e lateralmente por uma região plana D, o volume do sólido é dado pela integral dupla da função sobre D:
V=\iint_{D} f(x,y)\,dA.
Aqui dA representa um elemento de área no plano xy. Intuitivamente, essa integral soma “pequenos prismas” de base dA e altura f(x,y); a soma desses prismas dá o volume total. No nosso caso f(x,y)=x^{2}+y.

Passo 3

Escolha da ordem de integração e escrita do integral iterado. A região D é um retângulo com limites constantes, então podemos usar Fubini e escrever a integral iterada de forma simples. Vou integrar primeiro em y (de 1 a 2) e depois em x (de 0 a 1):
V=\iint_{D}(x^{2}+y)\,dA =\int_{x=0}^{1}\int_{y=1}^{2}(x^{2}+y)\,dy\,dx.
Explicando: dentro do integrando x^{2}+y, x é tratado como constante quando integramos em y.

Passo 4

Calcular a integral interna (integração em y). Devemos calcular
\int_{y=1}^{2}(x^{2}+y)\,dy.
Integramos termo a termo:
  • \int_{y=1}^{2} x^{2}\,dy = x^{2}\int_{1}^{2}dy = x^{2}(2-1)=x^{2}.
    (Aqui x^{2} é constante em relação a y.)
  • \int_{y=1}^{2} y\,dy = \left.\dfrac{y^{2}}{2}\right|_{1}^{2} = \dfrac{2^{2}-1^{2}}{2} = \dfrac{4-1}{2}=\dfrac{3}{2}.
Somando,
\int_{y=1}^{2}(x^{2}+y)\,dy = x^{2}+\dfrac{3}{2}.

Passo 5

Calcular a integral externa (integração em x). Agora temos
V=\int_{x=0}^{1}\left(x^{2}+\dfrac{3}{2}\right)\,dx = \int_{0}^{1} x^{2}\,dx + \int_{0}^{1}\dfrac{3}{2}\,dx.
Calcule cada parte:
  • \displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left.\dfrac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \dfrac{1^{3}-0}{3}=\dfrac{1}{3}.
  • \displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{3}{2}\,dx = \dfrac{3}{2}\cdot(1-0)=\dfrac{3}{2}.
Somando os resultados:
V=\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}.

Passo 6

Fazer a soma final (frações). Colocando no mesmo denominador:
\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{2}{6}+\dfrac{9}{6}=\dfrac{11}{6}.
Uma checagem rápida de coerência: a área de D é (1-0)\cdot(2-1)=1, então esse resultado também é o valor médio de z sobre D. Faz sentido numericamente porque x^{2} varia entre 0 e 1 e y entre 1 e 2, então valores de z na média ficam no intervalo compatível com 11/6.

Resposta

\dfrac{11}{6}

Exercícios relacionados