Calcule o volume do sólido limitado por z=x^{2}+y, o retângulo D=[0,1] \times[1,2], e os lados verticais de D.
Passo 1
O problema pede para calcular o volume do sólido limitado pela superfície z=x^{2}+y, pelo retângulo D=[0,1]\times[1,2] no plano xy e pelos planos verticais sobre as arestas de D.
Informações dadas:
A superfície que limita o sólido é z=x^{2}+y.
A base (projeção no plano xy) é o retângulo D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;1\le y\le2\}.
As faces laterais são os planos verticais sobre as bordas de D.
O que se pede:
Calcular o volume do sólido descrito acima.
Passo 2
Ideia e fórmula que vou usar (explicando didaticamente). Quando um sólido é limitado superiormente por uma função z=f(x,y) e lateralmente por uma região plana D, o volume do sólido é dado pela integral dupla da função sobre D:
V=\iint_{D} f(x,y)\,dA.
Aqui dA representa um elemento de área no plano xy. Intuitivamente, essa integral soma “pequenos prismas” de base dA e altura f(x,y); a soma desses prismas dá o volume total. No nosso caso f(x,y)=x^{2}+y.
Passo 3
Escolha da ordem de integração e escrita do integral iterado. A região D é um retângulo com limites constantes, então podemos usar Fubini e escrever a integral iterada de forma simples. Vou integrar primeiro em y (de 1 a 2) e depois em x (de 0 a 1):
Uma checagem rápida de coerência: a área de D é (1-0)\cdot(2-1)=1, então esse resultado também é o valor médio de z sobre D. Faz sentido numericamente porque x^{2} varia entre 0 e 1 e y entre 1 e 2, então valores de z na média ficam no intervalo compatível com 11/6.