Calcule as seguintes integrais (este exercício mescla todas as técnicas vistas):
\int x \ln ^{2} x-x \ln x+3 \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função
f(x)=x\ln^2x - x\ln x + 3\ln x,
ou seja, calcular
\int \bigl(x\ln^2x - x\ln x + 3\ln x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes. Vamos separar a integral em três partes:
I_1=\int x\ln^2x\,dx,\quad I_2=\int x\ln x\,dx,\quad I_3=\int 3\ln x\,dx,
e depois recombinar.

Passo 2

Calcular I_2=\int x\ln x\,dx por partes. Escolhemos
u=\ln x,\quad dv=x\,dx,
logo
du=\frac{1}{x}\,dx,\quad v=\frac{x^2}{2}.
Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos
I_2 =\frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}.

Passo 3

Calcular I_1=\int x\ln^2x\,dx também por partes. Tomamos
u=\ln^2x,\quad dv=x\,dx,
então
du=2\ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx=\frac{2\ln x}{x}\,dx,\quad v=\frac{x^2}{2}.
Temos
I_1 =\frac{x^2}{2}\ln^2x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{2\ln x}{x}\,dx =\frac{x^2}{2}\ln^2x - \int x\ln x\,dx =\frac{x^2}{2}\ln^2x - I_2.
Substituindo o valor de I_2:
I_1 =\frac{x^2}{2}\ln^2x -\Bigl(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\Bigr) =\frac{x^2}{2}\ln^2x - \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4}.

Passo 4

Calcular I_3=\int 3\ln x\,dx. Podemos tirar o 3 para fora e usar a primitiva de \ln x:
\int \ln x\,dx = x\ln x - x.
Logo
I_3 =3\bigl(x\ln x - x\bigr) =3x\ln x - 3x.

Passo 5

Agora somamos as três partes conforme a integral original:
\int \bigl(x\ln^2x - x\ln x + 3\ln x\bigr)\,dx =I_1 - I_2 + I_3.
Substituindo:
I_1=\frac{x^2}{2}\ln^2x - \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4},\quad -I_2=-\frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4},\quad I_3=3x\ln x -3x.
Somando termo a termo:
  • Coeficiente de x^2\ln^2x: \tfrac{x^2}{2}\ln^2x.
  • Coeficiente de x^2\ln x: -\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^2}{2}=-x^2.
  • Coeficiente de x^2: \tfrac{x^2}{4}+\tfrac{x^2}{4}=\tfrac{x^2}{2}.
  • Termos lineares: 3x\ln x -3x.

Resposta

\boxed{ \int \bigl(x\ln^2x - x\ln x + 3\ln x\bigr)\,dx =\frac{x^2}{2}\ln^2x \;-\;x^2\ln x \;+\;\frac{x^2}{2}\;+\;3x\ln x\;-\;3x + C. }

Exercícios relacionados