Calcule as seguintes integrais:
f) integral e^x cdot cos (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral e^xcos(2x),dx
O conteúdo principal é integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du
Vamos aplicar essa técnica duas vezes.

Passo 2

Definimos
I = integral e^xcos(2x),dx
Escolhemos em integral u,dv:
u = e^x, dv = cos(2x),dx
logo
du = e^x,dx, v = integral cos(2x),dx = tfrac12sin(2x)
Aplicando integração por partes:
I = e^xcdottfrac12sin(2x) - integral tfrac12sin(2x),e^x,dx = tfrac12e^xsin(2x) - tfrac12integral e^xsin(2x),dx
Chamamos
J = integral e^xsin(2x),dx
para organizar.

Passo 3

Agora calculemos
J = integral e^xsin(2x),dx
também por partes, com
u = e^x, dv = sin(2x),dx
resultando em
du = e^x,dx, v = integral sin(2x),dx = -tfrac12cos(2x)
Logo
J = e^xl(-tfrac12cos(2x)r) - integral l(-tfrac12cos(2x)r)e^x,dx = -tfrac12e^xcos(2x) + tfrac12integral e^xcos(2x),dx
Como integral e^xcos(2x),dx = I, temos
J = -tfrac12e^xcos(2x) + tfrac12I

Passo 4

Voltando a
I = tfrac12e^xsin(2x) - tfrac12J,
substituímos J:
I = tfrac12e^xsin(2x) - tfrac12l(-tfrac12e^xcos(2x) + tfrac12Ir) = tfrac12e^xsin(2x) + tfrac14e^xcos(2x) - tfrac14I
Agrupando I dos dois lados:
I + tfrac14I = tfrac54I = tfrac14e^xcos(2x) + tfrac12e^xsin(2x)
Assim
I = 45l(tfrac14e^xcos(2x) + tfrac12e^xsin(2x)r) = e^x5l(cos(2x)+2sin(2x)r) + C

Resposta

integral e^xcos(2x),dx = e^x5l(cos(2x) + 2sin(2x)r) + C

Exercícios relacionados