Use a tabela de transformadas de Laplace e a linearidade da transformada de Laplace para determinar as seguintes transformadas.
\mathscr{L}\left{e^{-2 t} \cos \sqrt{3} t-t^{2} e^{-2 t}\right}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
e^{-2 t}\cos\sqrt{3}\,t - t^{2}e^{-2 t}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é a diferença de duas parcelas: \;e^{-2 t}\cos\sqrt{3}\,t\; e \;t^{2}e^{-2 t}\;.
  • Deve-se usar a tabela de transformadas e a linearidade da transformada de Laplace (ou seja, calcular a transformada de cada parcela e subtrair).

Passo 2

Definição e propriedade de linearidade (lembrete rápido):
\mathscr{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt,
e, para constantes a,b e funções f,g,
\mathscr{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\,\mathscr{L}\{f(t)\}+b\,\mathscr{L}\{g(t)\}.
Isso significa que podemos calcular separadamente \mathscr{L}\{e^{-2 t}\cos\sqrt{3}\,t\} e \mathscr{L}\{t^{2}e^{-2 t}\} e depois subtrair.

Passo 3

Teorema de deslocamento na frequência (fórmula que aparece na tabela): se \mathscr{L}\{f(t)\}=F(s), então, para qualquer constante a,
\mathscr{L}\{e^{a t}f(t)\}=F(s-a).
Prova curta (para fixar a ideia): por definição,
\mathscr{L}\{e^{a t}f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}e^{a t}f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}f(t)\,dt=F(s-a).
No nosso caso a=-2, portanto multiplicar por e^{-2t} corresponde a substituir s por s+2 na transformada de f(t).

Passo 4

Transformada da primeira parcela \;e^{-2 t}\cos\sqrt{3}\,t.
Primeiro lembro a transformada básica de \cos(\omega t). Seja \omega=\sqrt{3}. Calculo
\mathscr{L}\{\cos(\omega t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\cos(\omega t)\,dt.
Uma forma rápida é usar exponencial complexa:
\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\cos(\omega t)\,dt=\Re\!\left(\int_{0}^{\infty}e^{-(s-i\omega)t}\,dt\right).
Como \Re(s)>0 a integral do exponencial converge e dá
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-i\omega)t}\,dt=\frac{1}{s-i\omega}.
Tomando a parte real:
\mathscr{L}\{\cos(\omega t)\}=\Re\!\left(\frac{1}{s-i\omega}\right)=\Re\!\left(\frac{s+i\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\right)=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.
Portanto, para \omega=\sqrt{3},
\mathscr{L}\{\cos\sqrt{3}\,t\}=\frac{s}{s^{2}+3}.

Passo 5

Aplicando o deslocamento na frequência com a=-2 (ou seja, s\mapsto s+2) para obter a transformada de \;e^{-2 t}\cos\sqrt{3}\,t:
\mathscr{L}\{e^{-2 t}\cos\sqrt{3}\,t\}=\left.\frac{s}{s^{2}+3}\right|_{s\mapsto s+2}=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+3}.

Passo 6

Transformada da segunda parcela \;t^{2}e^{-2 t}.
Primeiro calculo \mathscr{L}\{t^{2}\}. Usando integração por partes (ou a fórmula geral \mathscr{L}\{t^{n}\}=n!/s^{n+1}), faço n=2.
Definindo
I_{2}=\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-s t}\,dt,
faço integração por partes com u=t^{2}, dv=e^{-s t}dt. Então du=2t\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Assim
I_{2}=\left.[-\,\frac{t^{2}}{s}e^{-s t}]\right_{0}^{\infty}+\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty}t e^{-s t}\,dt.
O termo de fronteira vale zero para \Re(s)>0. Chamo I_{1}=\int_{0}^{\infty}t e^{-s t}\,dt. Calculo I_{1} por partes novamente: com u=t, dv=e^{-s t}dt obtém-se I_{1}=\dfrac{1}{s^{2}}. Portanto
I_{2}=\frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}}.
Logo
\mathscr{L}\{t^{2}\}=\frac{2}{s^{3}}.

Passo 7

Agora aplico o deslocamento na frequência ( s\mapsto s+2) para \;t^{2}e^{-2 t}:
\mathscr{L}\{t^{2}e^{-2 t}\}=\left.\frac{2}{s^{3}}\right|_{s\mapsto s+2}=\frac{2}{(s+2)^{3}}.

Passo 8

Usando linearidade e lembrando o sinal menos entre as parcelas, a transformada total é
\mathscr{L}\{e^{-2 t}\cos\sqrt{3}\,t - t^{2}e^{-2 t}\} =\frac{s+2}{(s+2)^{2}+3}-\frac{2}{(s+2)^{3}}.

Resposta

\frac{s+2}{(s+2)^{2}+3}-\frac{2}{(s+2)^{3}}

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