Use a tabela de transformadas de Laplace e a linearidade da transformada de Laplace para determinar as seguintes transformadas.
\mathscr{L}\left{t{4}-t{2}-t+\operatorname{sen} \sqrt{2} t\right}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a transformada de Laplace do sinal dado. Escrevendo exatamente o que é fornecido e o que se quer:
  • Função cuja transformada é solicitada:
f(t)=t^{4}-t^{2}-t+\operatorname{sen}\!\big(\sqrt{2}\,t\big).
  • Pedido: determinar
\mathscr{L}\{\,t^{4}-t^{2}-t+\operatorname{sen}\!\big(\sqrt{2}\,t\big)\}.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Há quatro termos separados: t^{4}, t^{2}, t e \operatorname{sen}(\sqrt{2}\,t).
  • A operação a aplicar é a transformada de Laplace \mathscr{L}\{\cdot\}.

Passo 2

Princípios e fórmulas da tabela que vamos usar (explicadas com calma):
  1. Linearidade da transformada de Laplace:
\mathscr{L}\{a\,f(t)+b\,g(t)\}=a\,\mathscr{L}\{f(t)\}+b\,\mathscr{L}\{g(t)\},
onde a e b são constantes reais. Isso significa que podemos calcular a transformada de cada termo separadamente e somar (com os sinais apropriados).
  1. Transformada de potências t^{n} (com n inteiro não-negativo):
\mathscr{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Aqui n! (fatorial) é n\cdot(n-1)\cdots1 (por exemplo 4!=24), e s é a variável complexa da transformada. Essa fórmula vale para \operatorname{Re}(s)>0 (região de convergência típica para polinômios em t).
  1. Transformada do seno:
\mathscr{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Na fórmula, a é a constante que multiplica t no seno (aqui será a=\sqrt{2}). A fórmula vale para \operatorname{Re}(s)>0.
Observação didática rápida sobre as variáveis:
  • s é a variável da transformada (geralmente complexa); nas expressões finais a transformada será uma função de s.
  • As condições \operatorname{Re}(s)>0 garantem convergência das integrais de Laplace dos termos que aparecem aqui.

Passo 3

Aplicando a linearidade: calcular a transformada de cada termo e depois somar com os sinais dados.
  1. Para t^{4}: aqui n=4. Pela fórmula de potências,
\mathscr{L}\{t^{4}\}=\frac{4!}{s^{4+1}}=\frac{4!}{s^{5}}.
Calcule o fatorial: 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24. Logo
\mathscr{L}\{t^{4}\}=\frac{24}{s^{5}}.
  1. Para t^{2}: n=2. Pela mesma fórmula,
\mathscr{L}\{t^{2}\}=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}},
pois 2!=2.
  1. Para t: n=1. Então
\mathscr{L}\{t\}=\frac{1!}{s^{2}}=\frac{1}{s^{2}}.
  1. Para \operatorname{sen}(\sqrt{2}\,t): aqui a=\sqrt{2}. Pela fórmula do seno,
\mathscr{L}\{\operatorname{sen}(\sqrt{2}\,t)\}=\frac{\sqrt{2}}{s^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{s^{2}+2}.

Passo 4

Agora somo os termos com os sinais do enunciado (lembre: o segundo e o terceiro termos entram com sinal negativo):
\mathscr{L}\{t^{4}-t^{2}-t+\operatorname{sen}(\sqrt{2}\,t)\} = \frac{24}{s^{5}}-\frac{2}{s^{3}}-\frac{1}{s^{2}}+\frac{\sqrt{2}}{s^{2}+2}.
Região de validade (comentário importante para a prova): a expressão acima é válida para \operatorname{Re}(s)>0, que é a região de convergência comum aos termos dados.
Dica rápida de prova/exame: identifique cada termo, aplique a tabela termo a termo usando linearidade, calcule os fatoriais quando aparecerem potências, e verifique o parâmetro a no seno/cosseno.

Resposta

\frac{24}{s^{5}}-\frac{2}{s^{3}}-\frac{1}{s^{2}}+\frac{\sqrt{2}}{s^{2}+2}

Exercícios relacionados