Use a tabela de transformadas de Laplace e a linearidade da transformada de Laplace para determinar as seguintes transformadas.
\mathscr{L}\left{t{4}-t{2}-t+\operatorname{sen} \sqrt{2} t\right}
\mathscr{L}\left{t{4}-t{2}-t+\operatorname{sen} \sqrt{2} t\right}
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a transformada de Laplace do sinal dado. Escrevendo exatamente o que é fornecido e o que se quer:
- Função cuja transformada é solicitada:
- Pedido: determinar
Informações úteis extraídas do enunciado:
- Há quatro termos separados:
, , e . - A operação a aplicar é a transformada de Laplace
.
Passo 2
Princípios e fórmulas da tabela que vamos usar (explicadas com calma):
- Linearidade da transformada de Laplace:
onde
e
são constantes reais. Isso significa que podemos calcular a transformada de cada termo separadamente e somar (com os sinais apropriados).
- Transformada de potências
(com inteiro não-negativo):
Aqui
(fatorial) é
(por exemplo
), e
é a variável complexa da transformada. Essa fórmula vale para
(região de convergência típica para polinômios em
).
- Transformada do seno:
Na fórmula,
é a constante que multiplica
no seno (aqui será
). A fórmula vale para
.
Observação didática rápida sobre as variáveis:
-
é a variável da transformada (geralmente complexa); nas expressões finais a transformada será uma função de . - As condições
garantem convergência das integrais de Laplace dos termos que aparecem aqui.
Passo 3
Aplicando a linearidade: calcular a transformada de cada termo e depois somar com os sinais dados.
- Para
: aqui . Pela fórmula de potências,
Calcule o fatorial:
. Logo
- Para
: . Pela mesma fórmula,
pois
.
- Para
: . Então
- Para
: aqui . Pela fórmula do seno,
Passo 4
Agora somo os termos com os sinais do enunciado (lembre: o segundo e o terceiro termos entram com sinal negativo):
Região de validade (comentário importante para a prova): a expressão acima é válida para
, que é a região de convergência comum aos termos dados.
Dica rápida de prova/exame: identifique cada termo, aplique a tabela termo a termo usando linearidade, calcule os fatoriais quando aparecerem potências, e verifique o parâmetro
no seno/cosseno.