Calcule as seguintes integrais fazendo as devidas substituições
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
onde
e
são constantes. Vou listar claramente as informações dadas e suposições naturais que usarei:
- A integral é indefinida (procura-se a primitiva).
- Assume-se
e (caso contrário a expressão sob a raiz fica degenerada ou a substituição trigonométrica precisa de ajuste). - A variável de integração é
.
O objetivo é encontrar uma expressão em termos de(mais uma constante de integração) que, quando derivada, produza .
Passo 2
Escolha da substituição e motivo (explicação didática).
Uma técnica clássica para integrar expressões do tipo é a substituição trigonométrica porque ela transforma uma diferença de quadrados numa função trigonométrica simples. Aqui escolhemos a substituição
Uma técnica clássica para integrar expressões do tipo
Explicando devagar:
- Com essa escolha,
. - Então
, cuja raiz é simplesmente (tomando o cosseno não-negativo no ramo apropriado).
Também precisamos do diferencial. Derivando a substituição:
Passo 3
Substituir na integral e simplificar.
Substituindo e
na integral, obtemos
Substituindo
Agora precisamos integrar
. Usamos a identidade trigonométrica de ângulo duplo (explicando):
Isso transforma a integral em uma soma de termos fáceis de integrar.
Passo 4
Integrar usando a identidade e obter a primitiva em
.
Aplicando a identidade:
Aplicando a identidade:
Integramos termo a termo:
Logo
Podemos simplificar
usando
, o que dá
. Assim a expressão fica
Passo 5
Voltar para a variável
(substituição inversa) e simplificar.
Lembrando a substituição inicial , temos
Lembrando a substituição inicial
Também vimos que
. Substituindo na expressão:
- O termo
vira
Multiplicando por
esse termo torna-se
Para o primeiro termo precisamos de
em função de
. Como
, uma escolha natural é
considerando o ramo principal de
. Multiplicando por
obtemos o termo
Somando os dois termos e a constante
, a primitiva em
é
Passo 6
Observações finais e domínio.
- A expressão encontrada é válida no intervalo onde
é real, isto é, para . - A escolha de
corresponde ao ramo principal; ao trabalhar com primitivas isso apenas pode acrescentar constantes (absorvíveis em ) se escolhermos ramos diferentes. - Se
pode-se usar a mesma fórmula, lembrando que muda de sinal; a fórmula continua correta desde que se interprete de maneira consistente.