Calcule as seguintes integrais fazendo as devidas substituições
\int \sqrt{a^{2}-b^{2} x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}\;dx,
onde a e b são constantes. Vou listar claramente as informações dadas e suposições naturais que usarei:
  • A integral é indefinida (procura-se a primitiva).
  • Assume-se a>0 e b\neq0 (caso contrário a expressão sob a raiz fica degenerada ou a substituição trigonométrica precisa de ajuste).
  • A variável de integração é x.
    O objetivo é encontrar uma expressão em termos de x (mais uma constante de integração) que, quando derivada, produza \sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}.

Passo 2

Escolha da substituição e motivo (explicação didática).
Uma técnica clássica para integrar expressões do tipo \sqrt{a^{2}-(\text{const}\cdot x)^{2}} é a substituição trigonométrica porque ela transforma uma diferença de quadrados numa função trigonométrica simples. Aqui escolhemos a substituição
x=\frac{a}{b}\sin\theta.
Explicando devagar:
  • Com essa escolha, b^{2}x^{2}=b^{2}\left(\dfrac{a}{b}\sin\theta\right)^{2}=a^{2}\sin^{2}\theta.
  • Então a^{2}-b^{2}x^{2}=a^{2}(1-\sin^{2}\theta)=a^{2}\cos^{2}\theta, cuja raiz é simplesmente a\cos\theta (tomando o cosseno não-negativo no ramo apropriado).
    Também precisamos do diferencial dx. Derivando a substituição:
dx=\frac{a}{b}\cos\theta\;d\theta.

Passo 3

Substituir na integral e simplificar.
Substituindo \sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}=a\cos\theta e dx=\dfrac{a}{b}\cos\theta\,d\theta na integral, obtemos
\int \sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}\;dx = \int \bigl(a\cos\theta\bigr)\cdot\biggl(\frac{a}{b}\cos\theta\;d\theta\biggr) = \frac{a^{2}}{b}\int \cos^{2}\theta\;d\theta.
Agora precisamos integrar \cos^{2}\theta. Usamos a identidade trigonométrica de ângulo duplo (explicando):
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}.
Isso transforma a integral em uma soma de termos fáceis de integrar.

Passo 4

Integrar usando a identidade e obter a primitiva em \theta.
Aplicando a identidade:
\frac{a^{2}}{b}\int \cos^{2}\theta\;d\theta = \frac{a^{2}}{b}\int \frac{1+\cos 2\theta}{2}\;d\theta = \frac{a^{2}}{2b}\int (1+\cos 2\theta)\;d\theta.
Integramos termo a termo:
\int (1+\cos 2\theta)\;d\theta=\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta + C.
Logo
\frac{a^{2}}{2b}\biggl(\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\biggr)+C.
Podemos simplificar \dfrac{1}{2}\sin 2\theta usando \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta, o que dá \dfrac{1}{2}\sin 2\theta=\sin\theta\cos\theta. Assim a expressão fica
\frac{a^{2}}{2b}\theta + \frac{a^{2}}{2b}\sin\theta\cos\theta + C.

Passo 5

Voltar para a variável x (substituição inversa) e simplificar.
Lembrando a substituição inicial \;x=\dfrac{a}{b}\sin\theta\;, temos
\sin\theta=\frac{b x}{a}.
Também vimos que \cos\theta=\dfrac{\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}}{a}. Substituindo na expressão:
  • O termo \sin\theta\cos\theta vira
\sin\theta\cos\theta=\frac{b x}{a}\cdot\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}}{a}=\frac{b x\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}}{a^{2}}.
Multiplicando por \dfrac{a^{2}}{2b} esse termo torna-se
\frac{a^{2}}{2b}\cdot\frac{b x\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}}{a^{2}}=\frac{x\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}}{2}.
Para o primeiro termo precisamos de \theta em função de x. Como \sin\theta=\dfrac{b x}{a}, uma escolha natural é
\theta=\arcsin\!\left(\frac{b x}{a}\right),
considerando o ramo principal de \arcsin. Multiplicando por \dfrac{a^{2}}{2b} obtemos o termo
\frac{a^{2}}{2b}\arcsin\!\left(\frac{b x}{a}\right).
Somando os dois termos e a constante C, a primitiva em x é
\frac{x\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2b}\arcsin\!\left(\frac{b x}{a}\right)+C.

Passo 6

Observações finais e domínio.
  • A expressão encontrada é válida no intervalo onde \sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}} é real, isto é, para |x|\le \dfrac{a}{|b|}.
  • A escolha de \arcsin corresponde ao ramo principal; ao trabalhar com primitivas isso apenas pode acrescentar constantes (absorvíveis em C) se escolhermos ramos diferentes.
  • Se b<0 pode-se usar a mesma fórmula, lembrando que \dfrac{b x}{a} muda de sinal; a fórmula continua correta desde que se interprete \arcsin de maneira consistente.

Resposta

\frac{x\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2b}\arcsin\!\left(\frac{b x}{a}\right)+C

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