Calcule as integrais a seguin:
\int x d x

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral indefinida \int x\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é x e queremos uma primitiva (antiderivada) em função de x, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=x. Não há mais restrições no enunciado.

Passo 2

O que é uma integral indefinida: \int f(x)\,dx representa a família de todas as funções F(x) cuja derivada é f(x). Escrevemos isso como
\int f(x)\,dx = F(x)+C,
onde C é a constante de integração (porque derivando uma constante dá zero, então qualquer constante pode ser adicionada).

Passo 3

Regra prática que vamos usar (regra da potência): para todo expoente \,n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Por que isso vale? Porque, ao derivar o lado direito, usando a regra do poder da diferenciação, obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}\,x^{(n+1)-1}=x^{n},
ou seja, a derivada retorna x^n, confirmando que é mesmo uma primitiva.

Passo 4

Aplicando a regra da potência ao nosso caso: x é x^{1}, logo aqui \,n=1. Substituímos na fórmula:
\int x\,dx=\int x^{1}\,dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\frac{x^{2}}{2}+C.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom na prova): derivando \dfrac{x^{2}}{2}+C obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)=\frac{2x}{2}+0=x,
portanto \dfrac{x^{2}}{2}+C é de fato uma primitiva de x.

Passo 6

Observações finais úteis para a prova:
  • Não esqueça o +C, é obrigatório em integrais indefinidas.
  • Se tivesse x^{n} com n\neq -1, use a mesma fórmula. Para n=-1 (ou seja, \int \dfrac{1}{x}\,dx) a primitiva é \ln|x|+C (caso especial).

Resposta

\dfrac{x^{2}}{2}+C

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