Calcule as integrais a seguin:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral indefinida
.
Informações dadas: a função a integrar é e queremos uma primitiva (antiderivada) em função de
, isto é, uma função
tal que
. Não há mais restrições no enunciado.
Informações dadas: a função a integrar é
Passo 2
O que é uma integral indefinida:
representa a família de todas as funções
cuja derivada é
. Escrevemos isso como
onde
é a constante de integração (porque derivando uma constante dá zero, então qualquer constante pode ser adicionada).
Passo 3
Regra prática que vamos usar (regra da potência): para todo expoente
,
Por que isso vale? Porque, ao derivar o lado direito, usando a regra do poder da diferenciação, obtemos
ou seja, a derivada retorna
, confirmando que é mesmo uma primitiva.
Passo 4
Aplicando a regra da potência ao nosso caso:
é
, logo aqui
. Substituímos na fórmula:
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom na prova): derivando
obtemos
portanto
é de fato uma primitiva de
.
Passo 6
Observações finais úteis para a prova:
- Não esqueça o
, é obrigatório em integrais indefinidas. - Se tivesse
com , use a mesma fórmula. Para (ou seja, ) a primitiva é (caso especial).