Use esse fato para calcular as integrais:
a)
\int \frac{1}{5+x^{2}} d x
b)
\int \frac{1}{3+4 x^{2}} d x
c)
\int_{0}^{1} \frac{3 x+1}{5+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular estas integrais (usar o fato dado):
  • (a) \displaystyle \int \frac{1}{5+x^{2}}\,dx.
  • (b) \displaystyle \int \frac{1}{3+4x^{2}}\,dx.
  • (c) \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{3x+1}{5+x^{2}}\,dx.
Fato indicado (que será usado): a primitiva de \dfrac{1}{1+t^{2}} é \arctan t, isto é,
\int \frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\arctan t + C.

Passo 2

Apliquemos o fato em forma generalizada. Vou demonstrar como passar de \int \dfrac{1}{1+t^{2}}\,dt para a forma \int \dfrac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx.
Considere a>0. Faça a mudança de variável
t=\frac{x}{a}\quad\Rightarrow\quad x=a t,\qquad dx=a\,dt.
Então
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{a^{2}+a^{2}t^{2}}\,a\,dt = \int \frac{1}{a(1+t^{2})}\,a\,dt = \int \frac{1}{1+t^{2}}\,dt = \arctan t + C.
Voltando para x (ou seja t=x/a):
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx = \arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C.
Se preferir colocar o fator explícito, muitas vezes se escreve
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C,
mas note que na dedução acima já obtemos diretamente \arctan(x/a) porque usei a substituição com dx=a\,dt. Para ficar consistente com a forma mais usada, reescrevendo corretamente: ao fazer a mudança x=a t obtemos
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C.
(Verifique por derivação inversa se tiver dúvida: derivada de \arctan(x/a) \dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{1+(x/a)^{2}}=\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{(a^{2}+x^{2})/a^{2}}=\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{a^{2}}{a^{2}+x^{2}}=\dfrac{a}{a^{2}+x^{2}}. Por isso a forma correta com o prefactor é \dfrac{1}{a}\arctan(x/a) quando a substituição for t=x/a.)
Resumo prático que vou usar: para a>0,
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.

Passo 3

Temos \displaystyle \int \frac{1}{5+x^{2}}\,dx. Identifique a^{2}=5, ou seja a=\sqrt{5}. Aplicando a fórmula:
\int \frac{1}{5+x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{(\sqrt{5})^{2}+x^{2}}\,dx = \frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)+C.
Explicando em palavras: reconhecemos a forma a^{2}+x^{2} com a=\sqrt{5} e usamos a primitiva conhecida da arctangente com a escala apropriada.

Passo 4

Para \displaystyle \int \frac{1}{3+4x^{2}}\,dx é útil fatorar uma constante de 4 ou reescrever na forma a^{2}+x^{2}.
Uma forma: escreva
3+4x^{2}=4\!\left(x^{2}+\frac{3}{4}\right)=4\!\left(x^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right).
Logo
\int \frac{1}{3+4x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{4\left(x^{2}+(\tfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}\right)}\,dx = \frac{1}{4}\int \frac{1}{x^{2}+(\tfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}}\,dx.
Agora aplique a fórmula com a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}:
\int \frac{1}{x^{2}+(\tfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}}\,dx = \frac{1}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\arctan\!\left(\frac{x}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)+C = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)+C.
Multiplicando pelo \dfrac{1}{4}:
\int \frac{1}{3+4x^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)+C = \frac{1}{2\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)+C.
(Observação: equivalem alternativas como \dfrac{\sqrt{3}}{6}\arctan\!\left(\dfrac{2x}{\sqrt{3}}\right).)

Passo 5

A integral definida
\int_{0}^{1}\frac{3x+1}{5+x^{2}}\,dx
pode ser separada usando linearidade:
\int_{0}^{1}\frac{3x+1}{5+x^{2}}\,dx = \int_{0}^{1}\frac{3x}{5+x^{2}}\,dx + \int_{0}^{1}\frac{1}{5+x^{2}}\,dx.
Cada termo é tratado com uma técnica distinta:
  • \displaystyle \int \frac{3x}{5+x^{2}}\,dx via substituição simples u=5+x^{2} (porque o numerador tem x proporcional à derivada de x^{2}).
  • \displaystyle \int \frac{1}{5+x^{2}}\,dx é como no item (a), já resolvida.

Passo 6

Calcule \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{3x}{5+x^{2}}\,dx.
Faça u=5+x^{2}. Então du=2x\,dx, logo x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du.
Assim
\int \frac{3x}{5+x^{2}}\,dx = 3\int \frac{x\,dx}{u} = 3\int \frac{1}{2}\frac{du}{u} = \frac{3}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{3}{2}\ln|u|+C.
Voltando a x:
\int \frac{3x}{5+x^{2}}\,dx = \frac{3}{2}\ln(5+x^{2})+C.
Como é integral definida de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\frac{3x}{5+x^{2}}\,dx = \frac{3}{2}\big[\ln(5+x^{2})\big]_{0}^{1} = \frac{3}{2}\big(\ln(6)-\ln(5)\big) = \frac{3}{2}\ln\!\left(\frac{6}{5}\right).

Passo 7

O segundo termo é
\int_{0}^{1}\frac{1}{5+x^{2}}\,dx.
Usando o resultado do item (a),
\int \frac{1}{5+x^{2}}\,dx = \frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)+C.
Portanto, aplicado ao intervalo [0,1]:
\int_{0}^{1}\frac{1}{5+x^{2}}\,dx = \frac{1}{\sqrt{5}}\Big[\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)\Big]_{0}^{1} = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)-\arctan(0)\right) = \frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right).

Passo 8

Somando os dois termos do Passo 6 e Passo 7:
\int_{0}^{1}\frac{3x+1}{5+x^{2}}\,dx = \frac{3}{2}\ln\!\left(\frac{6}{5}\right) + \frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
Isso é a expressão final exata da integral definida.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)+C
(b) \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)+C
(c) \displaystyle \frac{3}{2}\ln\!\left(\frac{6}{5}\right)+\frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)

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