Use esse fato para calcular as integrais:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular estas integrais (usar o fato dado):
- (a)
. - (b)
. - (c)
.
Fato indicado (que será usado): a primitiva de
é
, isto é,
Passo 2
Apliquemos o fato em forma generalizada. Vou demonstrar como passar de
para a forma
.
Considere
. Faça a mudança de variável
Então
Voltando para
(ou seja
):
Se preferir colocar o fator explícito, muitas vezes se escreve
mas note que na dedução acima já obtemos diretamente
porque usei a substituição com
. Para ficar consistente com a forma mais usada, reescrevendo corretamente: ao fazer a mudança
obtemos
(Verifique por derivação inversa se tiver dúvida: derivada de
dá
. Por isso a forma correta com o prefactor é
quando a substituição for
.)
Resumo prático que vou usar: para
,
Passo 3
Temos
. Identifique
, ou seja
. Aplicando a fórmula:
Explicando em palavras: reconhecemos a forma
com
e usamos a primitiva conhecida da arctangente com a escala apropriada.
Passo 4
Para
é útil fatorar uma constante de
ou reescrever na forma
.
Uma forma: escreva
Logo
Agora aplique a fórmula com
:
Multiplicando pelo
:
(Observação: equivalem alternativas como
.)
Passo 5
A integral definida
pode ser separada usando linearidade:
Cada termo é tratado com uma técnica distinta:
-
via substituição simples (porque o numerador tem proporcional à derivada de ). -
é como no item (a), já resolvida.
Passo 6
Calcule
.
Faça
. Então
, logo
.
Assim
Assim
Voltando a
:
Como é integral definida de
a
:
Passo 7
O segundo termo é
Usando o resultado do item (a),
Portanto, aplicado ao intervalo
:
Passo 8
Somando os dois termos do Passo 6 e Passo 7:
Isso é a expressão final exata da integral definida.
Resposta
(a)
(b)
(c)