Calcule as seguintes integrais de funções envolvendo produtos e potências de seno e cosseno:
\int \cos x \operatorname{sen}^{4} x d x.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
\int \cos x \,\sin^{4} x \, dx.
Informações dadas e o que se busca:
  • A variável de integração é x.
  • A integranda é o produto de \cos x por \sin^{4}x.
  • Queremos uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\cos x\,\sin^{4}x, mais a constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre a forma da integranda (por que isso ajuda): temos uma potência de seno, \sin^{4}x, multiplicada por \cos x. Isso sugere usar a substituição que transforma \sin x em uma nova variável, porque a derivada de \sin x é justamente \cos x. Em termos práticos, a presença de \cos x\,dx facilita a mudança de variável simples.

Passo 3

Fazemos a substituição. Definimos a nova variável
u=\sin x.
Agora calculamos o diferencial du. Como \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x, obtemos
du=\cos x\,dx.
Isso significa que o elemento \cos x\,dx na integral original é exatamente du.

Passo 4

Substituímos \sin x por u e \cos x\,dx por du na integral original. A integral fica em termos de u:
\int \cos x\,\sin^{4}x\,dx = \int u^{4}\,du.
Aqui usei que \sin^{4}x=(\sin x)^{4}=u^{4} e que \cos x\,dx=du.

Passo 5

Agora integramos \int u^{4}\,du. Usamos a regra básica de potência para integrais: para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=4, então
\int u^{4}\,du=\frac{u^{5}}{5}+C.

Passo 6

Voltamos à variável original x substituindo u=\sin x na expressão encontrada:
\frac{u^{5}}{5}+C=\frac{\sin^{5}x}{5}+C.

Passo 7

Verificação rápida (sanity check): derivando \dfrac{\sin^{5}x}{5} pelo teorema da cadeia obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin^{5}x}{5}\right)=\frac{1}{5}\cdot 5\,\sin^{4}x\cdot\cos x=\sin^{4}x\cos x,
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{\sin^{5}x}{5}+C

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