Calcule as seguintes integrais de funções envolvendo produtos e potências de seno e cosseno:
\int \cos x \operatorname{sen}^{4} x d x.
\int \cos x \operatorname{sen}^{4} x d x.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
Informações dadas e o que se busca:
- A variável de integração é
. - A integranda é o produto de
por . - Queremos uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão
tal que , mais a constante de integração .
Passo 2
Observação sobre a forma da integranda (por que isso ajuda): temos uma potência de seno,
, multiplicada por
. Isso sugere usar a substituição que transforma
em uma nova variável, porque a derivada de
é justamente
. Em termos práticos, a presença de
facilita a mudança de variável simples.
Passo 3
Fazemos a substituição. Definimos a nova variável
Agora calculamos o diferencial
. Como
, obtemos
Isso significa que o elemento
na integral original é exatamente
.
Passo 4
Substituímos
por
e
por
na integral original. A integral fica em termos de
:
Aqui usei que
e que
.
Passo 5
Agora integramos
. Usamos a regra básica de potência para integrais: para qualquer
,
No nosso caso
, então
Passo 6
Voltamos à variável original
substituindo
na expressão encontrada:
Passo 7
Verificação rápida (sanity check): derivando
pelo teorema da cadeia obtemos
o que confirma que a primitiva está correta.