Calcule as seguintes integrais de funções racionais:
\int \frac{4 x+1}{x^{2}+6 x+12} dx.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \frac{4x+1}{x^{2}+6x+12}\,dx.
Informações úteis fornecidas pelo enunciado:
O integrando é uma função racional: numerador 4x+1 e denominador x^{2}+6x+12.
O denominador é um polinômio quadrático. Se necessário podemos completar o quadrado nele.
Não há outros dados; a resposta pedida é uma antiderivada (ou familia de antiderivadas) com a constante de integração.
Passo 2
Primeiro passo prático: completar o quadrado no denominador para escrever de forma mais manejável. Faço
x^{2}+6x+12 = x^{2}+6x+9+3 = (x+3)^{2}+3.
Isso é útil porque (x+3)^{2}+3 tem a forma u^{2}+a^{2}, que lembra integrais do tipo arctan.
Passo 3
Uma técnica muito prática para integrais de frações racionais com quadrático no denominador é decompor o numerador em uma parte proporcional à derivada do denominador e uma parte constante. Calculo a derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}+6x+12\big)=2x+6.
Vou escrever o numerador 4x+1 como combinação linear de 2x+6 e uma constante:
4x+1 = a(2x+6)+b,
onde a e b são constantes a determinar.
Passo 4
Determino a e b comparando coeficientes. Expandindo a expressão:
a(2x+6)+b = 2a\,x + 6a + b.
Igualando coeficientes com 4x+1 obtemos o sistema
2a = 4,\qquad 6a + b = 1.
Da primeira equação vem a=2. Substituindo em 6a+b=1:
6\cdot 2 + b = 1 \Rightarrow 12 + b = 1 \Rightarrow b = -11.
Observação: como x^{2}+6x+12=(x+3)^{2}+3>0 para todo x, podemos omitir as barras de valor absoluto e escrever \ln(x^{2}+6x+12) sem problema.
Passo 7
Agora a segunda integral:
\int \frac{1}{x^{2}+6x+12}\,dx.
Usando a forma completada do quadrado (x+3)^{2}+3, faço a substituição simples u=x+3, então du=dx e a integral vira
\int \frac{1}{u^{2}+3}\,du.
Recorde (fórmula padrão): para a>0,
\int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right) + C.
Aqui a=\sqrt{3}. Portanto
\int \frac{1}{u^{2}+3}\,du = \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{3}}\right) + C = \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x+3}{\sqrt{3}}\right) + C.
Multiplicando pelo fator -11 da decomposição, obtemos a contribuição: