Calcule as seguintes integrais de funções envolvendo produtos e potências de seno e cosseno:
\int \operatorname{sen} 7 x \cos 2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin 7x \cos 2x \, dx.
Informações dadas: a função integranda é \sin 7x \cos 2x e a variável de integração é x. A tarefa é encontrar uma primitiva (a integral indefinida), ou seja, uma função cuja derivada seja \sin 7x \cos 2x, mais uma constante de integração.

Passo 2

Vamos usar uma identidade que transforma produto de seno e cosseno em soma de senos — isso facilita muito a integração porque integrar soma de senos é direto. Primeiro lembro a fórmula de adição para o seno:
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v \pm \cos u\sin v.
Se eu somar \sin(u+v) e \sin(u-v) as partes com \cos u\sin v cancelam e tenho:
\sin(u+v)+\sin(u-v)=2\sin u\cos v.
Isolando o produto, obtenho a identidade produto-para-soma que vou usar:
\sin u\cos v=\frac{1}{2}\bigl(\sin(u+v)+\sin(u-v)\bigr).
Explicando: u e v são quaisquer expressões (aqui serão múltiplos de x). Essa identidade é muito útil para integrar produtos de funções trigonométricas.

Passo 3

Aplicando a identidade com u=7x e v=2x, temos
\sin 7x \cos 2x = \frac{1}{2}\bigl(\sin(7x+2x)+\sin(7x-2x)\bigr).
Calculando os argumentos:
7x+2x=9x,\qquad 7x-2x=5x.
Portanto
\sin 7x \cos 2x = \frac{1}{2}\bigl(\sin 9x + \sin 5x\bigr).

Passo 4

Substituo essa expressão na integral e uso linearidade (a integral da soma é a soma das integrais, fator constante sai da integral):
\int \sin 7x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2}\int \bigl(\sin 9x + \sin 5x\bigr)\, dx = \frac{1}{2}\int \sin 9x \, dx + \frac{1}{2}\int \sin 5x \, dx.

Passo 5

Agora preciso integrar funções do tipo \sin(kx). Uma maneira simples de ver a primitiva é fazer a substituição t=kx, dt = k\,dx, logo dx = \frac{dt}{k}. Assim
\int \sin(kx)\,dx = \int \sin t \cdot \frac{dt}{k} = \frac{1}{k}\int \sin t\,dt = -\frac{1}{k}\cos t + C = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C.
Portanto a fórmula útil é
\int \sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C,
onde k é uma constante e C é constante de integração.

Passo 6

Aplico a fórmula para cada termo:
\int \sin 9x \, dx = -\frac{1}{9}\cos 9x + C_1, \qquad \int \sin 5x \, dx = -\frac{1}{5}\cos 5x + C_2.
Voltando à soma com o fator \tfrac{1}{2}, obtemos (agregando as constantes em uma só no final)
\frac{1}{2}\int \sin 9x \, dx + \frac{1}{2}\int \sin 5x \, dx = \frac{1}{2}\Bigl(-\frac{1}{9}\cos 9x\Bigr) + \frac{1}{2}\Bigl(-\frac{1}{5}\cos 5x\Bigr) + C.

Resposta

-\dfrac{1}{18}\cos 9x - \dfrac{1}{10}\cos 5x + C

Exercícios relacionados