Calcule as seguintes integrais de funções envolvendo produtos e potências de seno e cosseno:
\int \operatorname{sen} 7 x \cos 2 x d x.
\int \operatorname{sen} 7 x \cos 2 x d x.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
e a variável de integração é
. A tarefa é encontrar uma primitiva (a integral indefinida), ou seja, uma função cuja derivada seja
, mais uma constante de integração.
Passo 2
Vamos usar uma identidade que transforma produto de seno e cosseno em soma de senos — isso facilita muito a integração porque integrar soma de senos é direto. Primeiro lembro a fórmula de adição para o seno:
Se eu somar
e
as partes com
cancelam e tenho:
Isolando o produto, obtenho a identidade produto-para-soma que vou usar:
Explicando:
e
são quaisquer expressões (aqui serão múltiplos de
). Essa identidade é muito útil para integrar produtos de funções trigonométricas.
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
, temos
Calculando os argumentos:
Portanto
Passo 4
Substituo essa expressão na integral e uso linearidade (a integral da soma é a soma das integrais, fator constante sai da integral):
Passo 5
Agora preciso integrar funções do tipo
. Uma maneira simples de ver a primitiva é fazer a substituição
,
, logo
. Assim
Portanto a fórmula útil é
onde
é uma constante e
é constante de integração.
Passo 6
Aplico a fórmula para cada termo:
Voltando à soma com o fator
, obtemos (agregando as constantes em uma só no final)