Calcule as seguintes integrais de funções envolvendo produtos e potências de seno e cosseno:
\int \operatorname{sen} 2 x \cos ^{2} 2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
\int \operatorname{sen} 2x \,\cos^2 2x \, dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de \operatorname{sen} 2x e \cos^2 2x. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) da função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen} 2x\,\cos^2 2x. Não há limites de integração (é integral indefinida), então a resposta terá uma constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: uma técnica muito conveniente aqui é a substituição (mudança de variável). A ideia é tentar identificar uma parte da integranda cuja derivada aparece multiplicando-a. Observando \cos^2 2x e \operatorname{sen} 2x, notamos que a derivada de \cos 2x é -2\operatorname{sen} 2x, ou seja, aparece um fator \operatorname{sen} 2x (apenas com constante). Então definimos uma nova variável que simplifica a integral. Vou explicar a substituição passo a passo.

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\cos(2x).
Agora calculamos o diferencial du usando a regra da cadeia: a derivada de \cos(2x) em relação a x é -\sin(2x)\cdot 2. Portanto
du = -2\sin(2x)\,dx.
Isolando \sin(2x)\,dx obtemos
\sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.

Passo 4

Substituímos na integral original \int \sin 2x\,\cos^2 2x\,dx. Como u=\cos(2x), temos \cos^2 2x = u^2, e de Passo 3 \sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}du. Assim a integral fica
\int \sin 2x\,\cos^2 2x\,dx = \int u^2\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = -\tfrac{1}{2}\int u^2\,du.

Passo 5

Agora integramos em u. Usamos a fórmula básica para potências:
\int u^n\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C \quad(\text{para } n\neq -1).
Aqui n=2, então
\int u^2\,du = \frac{u^3}{3}+C.
Multiplicando pelo fator -\tfrac{1}{2} que tínhamos:
-\tfrac{1}{2}\int u^2\,du = -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{u^3}{3} + C = -\tfrac{1}{6}u^3 + C.

Passo 6

Voltamos para a variável original x substituindo u=\cos(2x):
-\tfrac{1}{6}u^3 + C = -\tfrac{1}{6}\cos^3(2x) + C.
Para ter confiança, podemos verificar por diferenciação: usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\!\left(-\tfrac{1}{6}\cos^3(2x)\right) = -\tfrac{1}{6}\cdot 3\cos^2(2x)\cdot\big(\!-\sin(2x)\cdot 2\big) = \sin(2x)\cos^2(2x),
que é exatamente a integranda. Beleza — está correto!

Resposta

-\tfrac{1}{6}\cos^{3}(2x)+C

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