Calcule as seguintes integrais de funções envolvendo produtos e potências de seno e cosseno:
\int \operatorname{sen} 2 x \cos ^{2} 2 x d x.
\int \operatorname{sen} 2 x \cos ^{2} 2 x d x.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é o produto de
e
. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) da função, ou seja, uma função
tal que
. Não há limites de integração (é integral indefinida), então a resposta terá uma constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: uma técnica muito conveniente aqui é a substituição (mudança de variável). A ideia é tentar identificar uma parte da integranda cuja derivada aparece multiplicando-a. Observando
e
, notamos que a derivada de
é
, ou seja, aparece um fator
(apenas com constante). Então definimos uma nova variável que simplifica a integral. Vou explicar a substituição passo a passo.
Passo 3
Fazemos a substituição
Agora calculamos o diferencial
usando a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
. Portanto
Isolando
obtemos
Passo 4
Substituímos na integral original
. Como
, temos
, e de Passo 3
. Assim a integral fica
Passo 5
Agora integramos em
. Usamos a fórmula básica para potências:
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que tínhamos:
Passo 6
Voltamos para a variável original
substituindo
:
Para ter confiança, podemos verificar por diferenciação: usando a regra da cadeia,
que é exatamente a integranda. Beleza — está correto!