Pede-se duas coisas: (i) verificar que a função é contínua em relação a cada variável separadamente (ou seja, para cada valor fixo de y a função de x é contínua, e para cada valor fixo de x a função de y é contínua); (ii) mostrar que a função não é contínua no ponto (0,0). \n
Lista de informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
Fórmula de z(x,y) quando (x,y)\neq(0,0) é \dfrac{2xy}{x^{2}+y^{2}}.\n
Valor atribuído no ponto (0,0) é 0.\n
A resolução seguirá mostrando primeiro a continuidade separada e depois a falta de continuidade no ponto (0,0).]
Passo 2
Vamos recordar o que significa “contínua em relação a cada variável separadamente” de forma prática (sem formalismo exagerado):\n
"Contínua em x para um y fixo y_{0}" significa que a função univariada g(x)=z(x,y_{0}) satisfaz \lim_{x\to x_{0}} g(x)=g(x_{0}) para todo x_{0}. Em outras palavras, ao variar apenas x e manter y=y_{0} fixo, não há saltos.\n
Analogamente para y com x fixo.\n
Vou tratar separadamente os dois casos (fixar y e fixar x), e dentro de cada caso separar os subcasos onde o denominador poderia ser zero. A ideia geral: quando fixamos uma variável que não é zero, o denominador x^{2}+y_{0}^{2} (ou x_{0}^{2}+y^{2}) nunca zera, então obtemos uma função racional em uma variável — essas são contínuas em todos os pontos. Quando a variável fixa é zero, a expressão simplifica e também veremos continuidade.
Passo 3
Contínuo em relação a x com y fixo.\n
Seja y_{0} um valor fixo. Definimos g(x)=z(x,y_{0}).\n
Caso y_{0}=0: para x\neq0 a fórmula dá
g(x)=\frac{2x\cdot 0}{x^{2}+0^{2}}=0.
No ponto x=0 a definição da função também é z(0,0)=0. Logo g(x) é a função constante 0 para todo x. Função constante é contínua, então g é contínua para todo x quando y_{0}=0.\n
Caso y_{0}\neq0: para todo x temos
g(x)=\frac{2x y_{0}}{x^{2}+y_{0}^{2}}.
Aqui o denominador x^{2}+y_{0}^{2} satisfaz x^{2}+y_{0}^{2}\ge y_{0}^{2}>0, ou seja, nunca é zero. Portanto g(x) é um quociente de polinômios com denominador não nulo, isto é, uma função racional bem-definida em todo \mathbb{R}. Funções racionais cujo denominador não zera são contínuas em todos os pontos. Em particular g é contínua para todo x quando y_{0}\neq0.\n
Conclusão deste passo: para qualquer y_{0} fixo, x\mapsto z(x,y_{0}) é contínua em todo x.
Passo 4
Explicação prática e exemplo simples (como aplicar na prova).\n
Se precisar justificar formalmente numa prova: mostre que para y_{0}\neq0 e para qualquer x_{0} temos
porque a substituição direta é válida (o denominador no ponto x_{0} é não nulo). Para y_{0}=0 basta notar que g(x)\equiv0 e, portanto, o limite é 0=g(x_{0}). Esses dois argumentos cobrem todos os y_{0}.\n
Exemplo extra curto: se y_{0}=1, então g(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1} e essa função é contínua em todo x (basta substituir x\to x_{0}).
Passo 5
Contínuo em relação a y com x fixo (simetria do problema).\n
Seja x_{0} fixo e defina h(y)=z(x_{0},y).\n
Caso x_{0}=0: para y\neq0 a fórmula dá
h(y)=\frac{2\cdot 0\cdot y}{0^{2}+y^{2}}=0,
e no ponto y=0 a definição também é z(0,0)=0. Logo h é a função constante 0 em todo y, portanto contínua.\n
Caso x_{0}\neq0: temos
h(y)=\frac{2 x_{0} y}{x_{0}^{2}+y^{2}}.
O denominador satisfaz x_{0}^{2}+y^{2}\ge x_{0}^{2}>0, logo não zera, e h é uma função racional em y com denominador não nulo, portanto contínua para todo y.\n
Conclusão: para qualquer x_{0} fixo, y\mapsto z(x_{0},y) é contínua em todo y.
Passo 6
Resumo das duas partes de continuidade separada e comentário intuitivo.\n
Juntando os passos anteriores: para qualquer y_{0} fixo a função x\mapsto z(x,y_{0}) é contínua em todos os x; para qualquer x_{0} fixo a função y\mapsto z(x_{0},y) é contínua em todos os y. Isso é exatamente ser contínuo separadamente em cada variável. Intuição: ao variar uma variável mantendo a outra fixa, ou o numerador vira zero (caso a fixa seja zero) ou o denominador nunca zera (caso a fixa seja não nula), então não aparecem problemas de divisão por zero nem saltos.
Passo 7
Mostrar que a função não é contínua em (0,0).\n
Para verificar continuidade em (0,0) como função de duas variáveis precisamos checar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} z(x,y)
existe e é igual a z(0,0)=0. Uma maneira clássica de provar que o limite não existe é mostrar que ao aproximar (0,0) por diferentes caminhos obtemos limites diferentes.\n
Considere as retas y=kx (com k real fixo). Substituindo y=kx na expressão para (x,y)\neq(0,0) obtemos
sempre que x\neq0. Note que essa expressão não depende de x (desde que x\neq0). Portanto, ao percorrer a reta y=kx e deixar x\to0, o valor de z(x,y) tende a \dfrac{2k}{1+k^{2}}.\n
Isso significa que o limite ao longo da reta y=kx é \dfrac{2k}{1+k^{2}}. Como esse valor depende de k, tomando diferentes k obtemos diferentes limites. Por exemplo:\n
Para k=1 (reta y=x) o limite é \dfrac{2\cdot 1}{1+1^{2}}=1.\n
Para k=0 (reta y=0) o limite é \dfrac{0}{1}=0.\n
Como há pelo menos duas trajetórias que dão limites distintos (por exemplo 1 e 0), o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} z(x,y) não existe. Logo a função não pode ser contínua em (0,0), porque a continuidade exigiria que tal limite existisse e fosse igual a z(0,0)=0.
Passo 8
Conclusão final e dica para a prova.\n
Concluímos que a função é contínua separadamente em cada variável (fixando uma e variando a outra), porque nessas situações obtemos funções racionais com denominador não nulo ou a função constante zero.\n
Entretanto, a função não é contínua no ponto (0,0) como função de duas variáveis, pois o limite quando (x,y)\to(0,0) depende da direção de aproximação (por exemplo vale 1 ao aproximar por y=x e 0 por y=0).\n
Dica prática para a prova: quando quiser mostrar falta de continuidade em dois variáveis, tente caminhos do tipo y=kx ou x=0, y=0; se o limite depender de k você já tem uma prova rápida.
Resposta
A função é contínua em relação a cada variável separadamente.
A função não é contínua em (0,0).