Calcule as seguintes integrais:
g) \int x \sqrt{4 x+8} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x \sqrt{4 x+8}\, dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • A função a integrar é x multiplicada por \sqrt{4x+8}.
  • Quer-se uma antiderivada (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x\sqrt{4x+8}, mais a constante de integração C.

Passo 2

Vamos escolher um método: como há uma raiz com uma expressão linear dentro, a substituição u= expressão interna costuma simplificar muito. Definimos
u = 4x+8.
Agora precisamos expressar dx e x em função de u. Derivando,
du = 4\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{4}.
Também isolamos x em termos de u:
x = \frac{u-8}{4}.
Explicando rapidinho: a ideia da substituição é trocar a parte composta \sqrt{4x+8} por uma nova variável u para transformar a integral em soma de potências de u, que são fáceis de integrar.

Passo 3

Substituímos x, \sqrt{4x+8} e dx na integral:
\int x \sqrt{4x+8}\, dx = \int \left(\frac{u-8}{4}\right) u^{1/2} \left(\frac{du}{4}\right).
Agora multiplicamos os fatores constantes e os termos em u:
\left(\frac{u-8}{4}\right) u^{1/2} \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{16}\bigl(u\cdot u^{1/2} - 8\cdot u^{1/2}\bigr) = \frac{1}{16}\bigl(u^{3/2} - 8u^{1/2}\bigr).
Logo a integral fica
\int x \sqrt{4x+8}\, dx = \int \frac{1}{16}\bigl(u^{3/2} - 8u^{1/2}\bigr)\, du.

Passo 4

Agora integramos termo a termo. Lembrando a regra de potência:
\text{Para } n\neq -1,\qquad \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando a regra aos termos:
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}u^{5/2}, \qquad \int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
\int \frac{1}{16}\bigl(u^{3/2} - 8u^{1/2}\bigr)\, du = \frac{1}{16}\left(\frac{2}{5}u^{5/2} - 8\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\right)+C.
Simplificando os coeficientes:
\frac{1}{16}\cdot\frac{2}{5}=\frac{1}{40}, \qquad \frac{1}{16}\cdot 8\cdot\frac{2}{3}=\frac{16}{48}=\frac{1}{3},
logo o resultado em u é
\frac{1}{40}u^{5/2} - \frac{1}{3}u^{3/2} + C.

Passo 5

Voltando à variável original x com u=4x+8, obtemos a antiderivada
\frac{1}{40}(4x+8)^{5/2} - \frac{1}{3}(4x+8)^{3/2} + C.

Passo 6

Para checar (sempre bom checar na prova): derivando o resultado se recupera o integrando. Diferenciando por x:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{40}(4x+8)^{5/2}\right) = \frac{1}{40}\cdot\frac{5}{2}(4x+8)^{3/2}\cdot 4 = \frac{1}{4}(4x+8)^{3/2},
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{3}(4x+8)^{3/2}\right) = -\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}(4x+8)^{1/2}\cdot 4 = -2(4x+8)^{1/2}.
Somando:
\frac{1}{4}(4x+8)^{3/2}-2(4x+8)^{1/2}=(4x+8)^{1/2}\left(\frac{1}{4}(4x+8)-2\right) =(4x+8)^{1/2}(x+2-2)=x(4x+8)^{1/2},
que é exatamente o integrando. Portanto a antiderivada está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{40}(4x+8)^{5/2}-\frac{1}{3}(4x+8)^{3/2}+C

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