Calcule as seguintes integrais:
g)
g)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - A função a integrar é
multiplicada por . - Quer-se uma antiderivada (integral indefinida), ou seja, uma função
tal que , mais a constante de integração .
Passo 2
Vamos escolher um método: como há uma raiz com uma expressão linear dentro, a substituição
expressão interna costuma simplificar muito. Definimos
Agora precisamos expressar
e
em função de
. Derivando,
Também isolamos
em termos de
:
Explicando rapidinho: a ideia da substituição é trocar a parte composta
por uma nova variável
para transformar a integral em soma de potências de
, que são fáceis de integrar.
Passo 3
Substituímos
,
e
na integral:
Agora multiplicamos os fatores constantes e os termos em
:
Logo a integral fica
Passo 4
Agora integramos termo a termo. Lembrando a regra de potência:
Aplicando a regra aos termos:
Portanto
Simplificando os coeficientes:
logo o resultado em
é
Passo 5
Voltando à variável original
com
, obtemos a antiderivada
Passo 6
Para checar (sempre bom checar na prova): derivando o resultado se recupera o integrando. Diferenciando por
:
Somando:
que é exatamente o integrando. Portanto a antiderivada está correta.