Se \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{1 / 2}}, determine f(x) tal que onde f(0)=3.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação (vou listar tudo que foi fornecido e o que pede):
  • Foi informado que \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{1/2}}.
  • Foi dada a condição inicial f(0)=3.
  • O que se pede: determinar a função f(x) que satisfaz essa igualdade e a condição inicial.

Passo 2

Interpretação da igualdade do enunciado (isso é crucial): a expressão
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
é a definição do quociente diferencial que dá a derivada de f em x. Logo essa igualdade significa simplesmente que a derivada de f é a função dada. Em símbolos:
f'(x)=\frac{e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{1/2}}.
Ou seja, para encontrar f precisamos encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função e depois ajustar a constante com f(0)=3.

Passo 3

Vamos calcular uma antiderivada de \displaystyle \frac{e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{1/2}}. Escrevendo a integral que procuramos:
\int \frac{e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{1/2}}\,dx.
Aqui a técnica natural é a substituição (às vezes chamada de mudança de variável).

Passo 4

Aplicando a substituição: defina
u=e^{x}+1.
Então derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = e^{x}\,dx.
Observe que o numerador e^{x}\,dx aparece exatamente na integral original, portanto a integral fica muito simples em u:
\int \frac{e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{1/2}}\,dx = \int u^{-1/2}\,du.
Aqui usei que \left(e^{x}+1\right)^{1/2}=u^{1/2} e que e^{x}\,dx=du.

Passo 5

Calcule a primitiva em u. A regra básica é que
\int u^{\alpha}\,du = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\quad(\text{para }\alpha\neq -1).
No nosso caso \alpha=-\tfrac{1}{2}, então
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{1/2}+C = 2u^{1/2}+C.
Voltando à variável x usando u=e^{x}+1, obtemos a antiderivada:
f(x)=2\sqrt{e^{x}+1}+C,
onde C é uma constante arbitrária que vamos determinar com a condição inicial.

Passo 6

Usar a condição inicial f(0)=3 para achar C. Primeiro calcule f(0) com a expressão encontrada:
f(0)=2\sqrt{e^{0}+1}+C = 2\sqrt{1+1}+C = 2\sqrt{2}+C.
Como f(0)=3, temos
2\sqrt{2}+C=3 \quad\Rightarrow\quad C=3-2\sqrt{2}.

Passo 7

Substituindo C na expressão de f(x) obtemos a função procurada:
f(x)=2\sqrt{e^{x}+1}+3-2\sqrt{2}.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova para garantir que não houve erro): diferencie f(x) para checar se retorna a derivada dada.
Diferenciando 2\sqrt{e^{x}+1}:
\frac{d}{dx}\bigl(2(e^{x}+1)^{1/2}\bigr)=2\cdot\frac{1}{2}(e^{x}+1)^{-1/2}\cdot e^{x}=\frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{1/2}}.
A constante 3-2\sqrt{2} tem derivada zero. Portanto a derivada de f é exatamente a função do enunciado, confirmado.

Resposta

f(x)=2\sqrt{e^{x}+1}+3-2\sqrt{2}

Exercícios relacionados