Se
, determine
tal que onde
.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação (vou listar tudo que foi fornecido e o que pede):
- Foi informado que
. - Foi dada a condição inicial
. - O que se pede: determinar a função
que satisfaz essa igualdade e a condição inicial.
Passo 2
Interpretação da igualdade do enunciado (isso é crucial): a expressão
é a definição do quociente diferencial que dá a derivada de
em
. Logo essa igualdade significa simplesmente que a derivada de
é a função dada. Em símbolos:
Ou seja, para encontrar
precisamos encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função e depois ajustar a constante com
.
Passo 3
Vamos calcular uma antiderivada de
. Escrevendo a integral que procuramos:
Aqui a técnica natural é a substituição (às vezes chamada de mudança de variável).
Passo 4
Aplicando a substituição: defina
Então derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Observe que o numerador
aparece exatamente na integral original, portanto a integral fica muito simples em
:
Aqui usei que
e que
.
Passo 5
Calcule a primitiva em
. A regra básica é que
No nosso caso
, então
Voltando à variável
usando
, obtemos a antiderivada:
onde
é uma constante arbitrária que vamos determinar com a condição inicial.
Passo 6
Usar a condição inicial
para achar
. Primeiro calcule
com a expressão encontrada:
Como
, temos
Passo 7
Substituindo
na expressão de
obtemos a função procurada:
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova para garantir que não houve erro): diferencie
para checar se retorna a derivada dada.
Diferenciando :
Diferenciando
A constante
tem derivada zero. Portanto a derivada de
é exatamente a função do enunciado, confirmado.