Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \frac{t^{4} \operatorname{tg} t}{2+\cos t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{t^{4}\tan t}{2+\cos t}\,dt.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O intervalo de integração é simétrico em torno de 0: -\pi/4 a \pi/4.
  • A função envolvida é f(t)=\dfrac{t^{4}\tan t}{2+\cos t}.
  • Preciso verificar que a função está bem definida e contínua no intervalo antes de usar propriedades de simetria (por exemplo, pontos de descontinuidade de \tan t são em t=\pm\pi/2,\pm3\pi/2,\dots, que não pertencem ao intervalo dado).
  • O denominador 2+\cos t não se anula no intervalo porque \cos t\in[-1,1] implica 2+\cos t\in[1,3], sempre positivo.

Passo 2

Vou estudar a paridade (simetria) da função f(t), porque o intervalo é simétrico e isso costuma simplificar muito integrais. Primeiro lembro as definições básicas:
  • Uma função g é par se g(-t)=g(t) para todo t.
  • Uma função g é ímpar se g(-t)=-g(t) para todo t.
Agora analiso as partes de f(t):
  • \;t^{4} é função par porque (-t)^{4}=t^{4}.
  • \;\tan t é função ímpar porque \tan(-t)=-\tan t (isso decorre de \sin(-t)=-\sin t e \cos(-t)=\cos t).
  • \;\cos t é função par porque \cos(-t)=\cos t. Portanto 2+\cos t também é par.
Com isso, avalio f(-t):
f(-t)=\frac{(-t)^{4}\tan(-t)}{2+\cos(-t)} =\frac{t^{4}\cdot(-\tan t)}{2+\cos t} =-\frac{t^{4}\tan t}{2+\cos t}=-f(t).
Logo f é uma função ímpar.

Passo 3

Agora uso a propriedade integral para funções ímpares em intervalos simétricos: se f é ímpar e integrável em [-a,a], então
\int_{-a}^{a} f(t)\,dt = 0.
Vou justificar rapidamente essa propriedade (muito útil na prova): faça a substituição u=-t em \int_{-a}^{0} f(t)\,dt; obtém-se \int_{a}^{0} f(-u)(-du)=\int_{0}^{a} f(-u)\,du. Como f é ímpar, f(-u)=-f(u), portanto \int_{-a}^{0} f(t)\,dt = -\int_{0}^{a} f(u)\,du. Somando com \int_{0}^{a} f(t)\,dt obtemos zero.
No nosso caso a=\pi/4 e já verifiquei que f é ímpar e contínua no intervalo (logo integrável), então a propriedade se aplica.

Passo 4

Aplicando a propriedade do passo anterior diretamente à nossa integral:
\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{t^{4}\tan t}{2+\cos t}\,dt = 0.
Intuitivamente, cada contribuição positiva vindo de t>0 é cancelada pela contribuição negativa simétrica em t<0, porque a função é ímpar.

Resposta

0

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