Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O intervalo de integração é simétrico em torno de
: a . - A função envolvida é
. - Preciso verificar que a função está bem definida e contínua no intervalo antes de usar propriedades de simetria (por exemplo, pontos de descontinuidade de
são em , que não pertencem ao intervalo dado). - O denominador
não se anula no intervalo porque implica , sempre positivo.
Passo 2
Vou estudar a paridade (simetria) da função
, porque o intervalo é simétrico e isso costuma simplificar muito integrais. Primeiro lembro as definições básicas:
- Uma função
é par se para todo . - Uma função
é ímpar se para todo .
Agora analiso as partes de
:
-
é função par porque . -
é função ímpar porque (isso decorre de e ). -
é função par porque . Portanto também é par.
Com isso, avalio
:
Logo
é uma função ímpar.
Passo 3
Agora uso a propriedade integral para funções ímpares em intervalos simétricos: se
é ímpar e integrável em
, então
Vou justificar rapidamente essa propriedade (muito útil na prova): faça a substituição
em
; obtém-se
. Como
é ímpar,
, portanto
. Somando com
obtemos zero.
No nosso caso
e já verifiquei que
é ímpar e contínua no intervalo (logo integrável), então a propriedade se aplica.
Passo 4
Aplicando a propriedade do passo anterior diretamente à nossa integral:
Intuitivamente, cada contribuição positiva vindo de
é cancelada pela contribuição negativa simétrica em
, porque a função é ímpar.