Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int_{-1}^{1} \frac{\operatorname{sen} x}{1+x^{2}} d x

Passo 1

Enunciado: calcular a integral
\int_{-1}^{1} \frac{\operatorname{sen} x}{1+x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é simétrico em torno de 0, isto é, [-1,1].
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{1+x^{2}}.
  • O denominador 1+x^{2} é sempre positivo em todo \mathbb{R}, logo não há descontinuidade no intervalo [-1,1].
  • A tarefa é encontrar o valor exato da integral.

Passo 2

Conceito necessário (explicado passo a passo): paridade de funções e propriedade de integrais em intervalos simétricos.
  • Definição de função par (paridade): uma função g é par se, para todo x em seu domínio,
g(-x)=g(x).
Exemplo: g(x)=x^{2} é par porque (-x)^{2}=x^{2}.
  • Definição de função ímpar (paridade): uma função h é ímpar se, para todo x em seu domínio,
h(-x)=-h(x).
Exemplo: h(x)=x ou h(x)=\operatorname{sen} x são ímpares porque \operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen} x.
  • Propriedade de integrais em intervalo simétrico: se a>0 e k é uma função integrável em [-a,a], então
    • se k é par, \displaystyle \int_{-a}^{a} k(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} k(x)\,dx;
    • se k é ímpar, \displaystyle \int_{-a}^{a} k(x)\,dx = 0.
  • Demonstração rápida da propriedade para função ímpar (útil para a prova e para a prova oral):
    Considere k ímpar. Então \int_{-a}^{a} k(x)\,dx = \int_{-a}^{0} k(x)\,dx + \int_{0}^{a} k(x)\,dx.Na primeira integral faça a substituição u=-x. Quando x=-a temos u=a; quando x=0 temos u=0; e dx=-du. Assim \int_{-a}^{0} k(x)\,dx = \int_{a}^{0} k(-u)\,(-du) = \int_{0}^{a} k(-u)\,du.Como k é ímpar, k(-u)=-k(u). Logo \int_{-a}^{0} k(x)\,dx = \int_{0}^{a} -k(u)\,du = -\int_{0}^{a} k(u)\,du.Somando com \int_{0}^{a} k(x)\,dx obtemos zero: \int_{-a}^{a} k(x)\,dx = -\int_{0}^{a} k(u)\,du + \int_{0}^{a} k(x)\,dx = 0.Essa é a razão matemática pela qual integrais de funções ímpares em intervalos simétricos se anulam.

Passo 3

Aplicando os conceitos ao nosso integrando f(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{1+x^{2}}:
  • Verifico a paridade do numerador:
\operatorname{sen}(-x) = -\operatorname{sen} x,
ou seja, \operatorname{sen} x é função ímpar.
  • Verifico a paridade do denominador:
1+(-x)^{2}=1+x^{2},
ou seja, 1+x^{2} é função par.
  • A divisão de uma função ímpar por uma função par resulta numa função ímpar. Formalmente, se p é ímpar e q é par e q(x)\neq 0, então
\frac{p(-x)}{q(-x)}=\frac{-p(x)}{q(x)}=-\frac{p(x)}{q(x)}.
Portanto, f(-x)=-f(x): f é ímpar.

Passo 4

Conclusão usando a propriedade de integrais para função ímpar em intervalo simétrico:
  • Como f é ímpar e o intervalo de integração [-1,1] é simétrico em torno de 0, pela propriedade demonstrada no Passo 2 temos
\int_{-1}^{1} \frac{\operatorname{sen} x}{1+x^{2}}\,dx = 0.
  • Alternativa (mesma ideia, mostrando cancelamento diretamente): \int_{-1}^{1} \frac{\operatorname{sen} x}{1+x^{2}}\,dx = \int_{0}^{1} \left(\frac{\operatorname{sen} x}{1+x^{2}}+\frac{\operatorname{sen}(-x)}{1+(-x)^{2}}\right)\,dx = \int_{0}^{1} \left(\frac{\operatorname{sen} x}{1+x^{2}}-\frac{\operatorname{sen} x}{1+x^{2}}\right)\,dx = \int_{0}^{1} 0\,dx = 0.Esse cálculo mostra explicitamente o cancelamento dos valores simétricos.

Passo 5

Comentário final e motivacional rápido:
  • Técnica apropriada: identificar paridade da função e usar a propriedade de integrais em intervalos simétricos. Isso é rápido, elegante e muito útil em provas porque evita cálculo direto complicado.
  • Dica para a prova: sempre olhe se o intervalo é simétrico e verifique se a função é par ou ímpar — às vezes resolve a integral instantaneamente. Você fez certo em pedir resolução passo a passo; essa ideia é uma ferramenta que aparece com frequência. Vai dar certo!

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