Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int_{1}^{10} \frac{x}{x^{2}-4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{10} \frac{x}{x^{2}-4}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é \frac{x}{x^{2}-4}.
  • Os limites de integração são 1 e 10.
  • Observação importante (da própria função): o denominador x^{2}-4 anula-se em x=2 e x=-2. Desses pontos, x=2 pertence ao intervalo de integração [1,10].

Passo 2

Identificação do tipo de integral: como existe uma descontinuidade em x=2 dentro do intervalo [1,10], a integral é imprópria. Isso significa que devemos defini-la como a soma de dois limites laterais:
\int_{1}^{10} \frac{x}{x^{2}-4}\,dx = \lim_{t\to 2^-}\int_{1}^{t}\frac{x}{x^{2}-4}\,dx +\lim_{s\to 2^+}\int_{s}^{10}\frac{x}{x^{2}-4}\,dx,
caso esses dois limites existam (sejam finitos). Se algum deles divergir, a integral imprópria diverge.

Passo 3

Técnica para integrar o integrando: usar substituição simples. Note que a derivada de x^{2}-4 é 2x, então podemos escrever:
faça u = x^{2}-4. Então du = 2x\,dx, ou seja x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du.
Isso transforma a integral indefinida da seguinte forma:
\int \frac{x}{x^{2}-4}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C = \frac{1}{2}\ln|x^{2}-4| + C.
Explicação curta do que foi feito: reconhecemos que o numerador é proporcional à derivada do denominador, o que leva diretamente à primitiva em termos de logaritmo.

Passo 4

Calcular as integrais parciais que definem a integral imprópria, usando a primitiva F(x)=\tfrac{1}{2}\ln|x^{2}-4|.
Para a parte à esquerda do ponto singular:
I_1=\lim_{t\to 2^-}\int_{1}^{t}\frac{x}{x^{2}-4}\,dx = \lim_{t\to 2^-}\left[\frac{1}{2}\ln|x^{2}-4|\right]_{1}^{t} = \frac{1}{2}\lim_{t\to 2^-}\big(\ln|t^{2}-4|-\ln|1^{2}-4|\big).

Passo 5

Avaliação do limite I_1: quando t\to 2^-, temos t^{2}-4 \to 0^{-}, portanto |t^{2}-4|\to 0^{+} e \ln|t^{2}-4|\to -\infty. Assim
I_1 = \frac{1}{2}\big(-\infty - \ln 3\big) = -\infty.
Portanto a integral da esquerda diverge para -\infty.

Passo 6

Para a parte à direita do ponto singular:
I_2=\lim_{s\to 2^+}\int_{s}^{10}\frac{x}{x^{2}-4}\,dx = \lim_{s\to 2^+}\left[\frac{1}{2}\ln|x^{2}-4|\right]_{s}^{10} = \frac{1}{2}\lim_{s\to 2^+}\big(\ln|10^{2}-4|-\ln|s^{2}-4|\big).
Quando s\to 2^+, s^{2}-4\to 0^{+} e \ln|s^{2}-4|\to -\infty, logo
I_2 = \frac{1}{2}\big(\ln 96 - (-\infty)\big) = +\infty.

Passo 7

Conclusão sobre a integral imprópria: como uma das parcelas diverge para -\infty e a outra para +\infty, a soma não é um número finito. Portanto a integral imprópria
\int_{1}^{10} \frac{x}{x^{2}-4}\,dx
não converge (diverge).

Passo 8

Comentário adicional — valor principal de Cauchy (opcional, útil em alguns contextos): às vezes calcula-se o valor principal simétrico em torno da singularidade, definido por
\mathrm{PV}\int_{1}^{10}\frac{x}{x^{2}-4}\,dx =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left(\int_{1}^{2-\varepsilon}\frac{x}{x^{2}-4}\,dx +\int_{2+\varepsilon}^{10}\frac{x}{x^{2}-4}\,dx\right).
Usando a primitiva F(x)=\tfrac{1}{2}\ln|x^{2}-4| obtemos
\mathrm{PV}\int_{1}^{10}\frac{x}{x^{2}-4}\,dx =\frac{1}{2}\Big(-\ln 3 + \ln 96\Big) =\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{96}{3}\right) =\frac{1}{2}\ln 32 =\frac{5}{2}\ln 2.
Explicação do porquê isso funciona: os termos divergentes das duas integrais laterais são iguais em módulo e de sinais opostos quando tomados simetricamente, por isso se anulam no limite simétrico, deixando um resultado finito.

Resposta

A integral imprópria \displaystyle \int_{1}^{10}\frac{x}{x^{2}-4}\,dx diverge.
\displaystyle \mathrm{PV}\int_{1}^{10}\frac{x}{x^{2}-4}\,dx=\frac{5}{2}\ln 2

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