Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes fornecidas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - Observação importante (da própria função): o denominador
anula-se em e . Desses pontos, pertence ao intervalo de integração .
Passo 2
Identificação do tipo de integral: como existe uma descontinuidade em
dentro do intervalo
, a integral é imprópria. Isso significa que devemos defini-la como a soma de dois limites laterais:
caso esses dois limites existam (sejam finitos). Se algum deles divergir, a integral imprópria diverge.
Passo 3
Técnica para integrar o integrando: usar substituição simples. Note que a derivada de
é
, então podemos escrever:
faça . Então
, ou seja
.
Isso transforma a integral indefinida da seguinte forma:
faça
Isso transforma a integral indefinida da seguinte forma:
Explicação curta do que foi feito: reconhecemos que o numerador é proporcional à derivada do denominador, o que leva diretamente à primitiva em termos de logaritmo.
Passo 4
Calcular as integrais parciais que definem a integral imprópria, usando a primitiva
.
Para a parte à esquerda do ponto singular:
Passo 5
Avaliação do limite
: quando
, temos
, portanto
e
. Assim
Portanto a integral da esquerda diverge para
.
Passo 6
Para a parte à direita do ponto singular:
Quando
,
e
, logo
Passo 7
Conclusão sobre a integral imprópria: como uma das parcelas diverge para
e a outra para
, a soma não é um número finito. Portanto a integral imprópria
não converge (diverge).
Passo 8
Comentário adicional — valor principal de Cauchy (opcional, útil em alguns contextos): às vezes calcula-se o valor principal simétrico em torno da singularidade, definido por
Usando a primitiva
obtemos
Explicação do porquê isso funciona: os termos divergentes das duas integrais laterais são iguais em módulo e de sinais opostos quando tomados simetricamente, por isso se anulam no limite simétrico, deixando um resultado finito.
Resposta
A integral imprópria
diverge.