Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O intervalo de integração é de
até . - O integrando é
.
O que se pede: encontrar o valor numérico exato da integral definida acima.
Passo 2
Escolha da técnica: aqui a forma do integrando sugere fortemente a técnica de substituição (também chamada de mudança de variável). Intuição: dentro do cosseno aparece
; a derivada de
é
, e nós temos um fator
multiplicando o cosseno. Isso é o cenário clássico em que uma substituição do tipo
simplifica a integral. Não vamos usar técnicas mais complicadas (como partes) porque a substituição transforma a integral em algo direto.
Passo 3
Explicando a técnica (mini-aula): a substituição funciona assim. Se fazemos
com
diferenciável, então
. Em uma integral indefinida, substituímos
por
e
por
. Em integral definida é ainda melhor: além de substituir a variável do integrando, trocamos os limites originais de
por limites em
usando
. Ou seja, se
então
; se
então
. Assim a integral definida em
vira uma integral definida em
.
Exemplo rápido e parecido (para fixar):
. Tomando
, temos
e a integral vira
.
Passo 4
Aplicando a substituição ao nosso caso. Tome
Calcule a diferencial:
Portanto o fator
do integrando se transforma em
.
Passo 5
Troca dos limites de integração: quando
temos
. Quando
temos
. Então os novos limites em
vão de
a
.
Passo 6
Substituindo tudo na integral original:
Agora basta integrar
, cujo primitivo é
(porque a derivada de
é
).
Passo 7
Avaliação da integral definida:
Não esqueça que
, portanto essa expressão fica mais simples na última etapa.