Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int_{0}^{1} v^{2} \cos \left(v^{3}\right) d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} v^{2}\cos\big(v^{3}\big)\,dv.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é de v=0 até v=1.
  • O integrando é v^{2}\cos\big(v^{3}\big).
    O que se pede: encontrar o valor numérico exato da integral definida acima.

Passo 2

Escolha da técnica: aqui a forma do integrando sugere fortemente a técnica de substituição (também chamada de mudança de variável). Intuição: dentro do cosseno aparece v^{3}; a derivada de v^{3} é 3v^{2}, e nós temos um fator v^{2} multiplicando o cosseno. Isso é o cenário clássico em que uma substituição do tipo u=v^{3} simplifica a integral. Não vamos usar técnicas mais complicadas (como partes) porque a substituição transforma a integral em algo direto.

Passo 3

Explicando a técnica (mini-aula): a substituição funciona assim. Se fazemos u=g(v) com g diferenciável, então du = g'(v)\,dv. Em uma integral indefinida, substituímos g(v) por u e g'(v)\,dv por du. Em integral definida é ainda melhor: além de substituir a variável do integrando, trocamos os limites originais de v por limites em u usando u=g(v). Ou seja, se v=a então u=g(a); se v=b então u=g(b). Assim a integral definida em v vira uma integral definida em u.
Exemplo rápido e parecido (para fixar): \int 2x\cos(x^{2})\,dx. Tomando u=x^{2}, temos du=2x\,dx e a integral vira \int \cos(u)\,du = \sin(u)+C = \sin(x^{2})+C.

Passo 4

Aplicando a substituição ao nosso caso. Tome
u = v^{3}.
Calcule a diferencial:
du = 3v^{2}\,dv \quad\Rightarrow\quad v^{2}\,dv = \frac{1}{3}\,du.
Portanto o fator v^{2}\,dv do integrando se transforma em \frac{1}{3}\,du.

Passo 5

Troca dos limites de integração: quando v=0 temos u=0^{3}=0. Quando v=1 temos u=1^{3}=1. Então os novos limites em u vão de 0 a 1.

Passo 6

Substituindo tudo na integral original:
\int_{0}^{1} v^{2}\cos\big(v^{3}\big)\,dv = \int_{u=0}^{u=1} \cos(u)\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}\cos(u)\,du.
Agora basta integrar \cos(u), cujo primitivo é \sin(u) (porque a derivada de \sin(u) é \cos(u)).

Passo 7

Avaliação da integral definida:
\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\cos(u)\,du = \frac{1}{3}\big[\sin(u)\big]_{0}^{1}.
Não esqueça que \sin(0)=0, portanto essa expressão fica mais simples na última etapa.

Resposta

\dfrac{1}{3}\sin(1)

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