Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int \operatorname{sen} \pi t \cos \pi t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}\pi t\;\cos\pi t\;dt.
Informações dadas: a função a integrar é o produto de \operatorname{sen}\pi t por \cos\pi t, não há limites (é uma integral indefinida) e a variável de integração é t. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(t) tal que F'(t)=\operatorname{sen}\pi t\cos\pi t.

Passo 2

Observação inicial e identidade trigonométrica útil. Uma identidade muito prática é a do ângulo duplo:
\sin(2x)=2\sin x\cos x.
Dessa identidade segue imediatamente que
\sin x\cos x=\tfrac{1}{2}\sin(2x).
Aqui podemos aplicar essa identidade com x=\pi t. Explicando a identidade: ela vem de fórmulas trigonométricas básicas (pode-se obter a partir da fórmula para \sin(a+b)), mas o que importa na prova é saber que ela permite transformar um produto \sin\cdot\cos numa única função seno com argumento dobrado — isso costuma simplificar integrais.

Passo 3

Aplicando a identidade ao integrando, temos
\operatorname{sen}\pi t\cos\pi t=\tfrac{1}{2}\sin(2\pi t).
Portanto a integral fica
\int \operatorname{sen}\pi t\cos\pi t\;dt=\int \tfrac{1}{2}\sin(2\pi t)\;dt.

Passo 4

Integração da função seno com constante no argumento. A fórmula básica é: para constante k\neq 0,
\int \sin(kt)\;dt = -\frac{1}{k}\cos(kt)+C.
Justificativa (cadeia): a derivada de \cos(kt) é -k\sin(kt), então para compensar o fator k precisamos do -1/k. Aplicando aqui com k=2\pi e lembrando do fator \tfrac{1}{2} multiplicando, obtemos
\int \tfrac{1}{2}\sin(2\pi t)\;dt = \tfrac{1}{2}\left(-\frac{1}{2\pi}\cos(2\pi t)\right)+C = -\frac{1}{4\pi}\cos(2\pi t)+C.

Passo 5

Método alternativo (substituição) — mostra que existe outra maneira e que o resultado é equivalente. Faça u=\sin\pi t. Então
du=\pi\cos\pi t\;dt\quad\Rightarrow\quad \cos\pi t\;dt=\frac{du}{\pi}.
A integral fica
\int \sin\pi t\cos\pi t\;dt=\int u\cdot\frac{du}{\pi}=\frac{1}{\pi}\int u\;du=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{u^{2}}{2}+C=\frac{u^{2}}{2\pi}+C.
Voltando a t,
\frac{u^{2}}{2\pi}=\frac{\sin^{2}\pi t}{2\pi}+C.
Para mostrar que essa forma é equivalente à obtida no Passo 4, use a identidade \cos(2x)=1-2\sin^{2}x, que dá
-\frac{1}{4\pi}\cos(2\pi t)= -\frac{1}{4\pi}\big(1-2\sin^{2}\pi t\big)=\frac{\sin^{2}\pi t}{2\pi}-\frac{1}{4\pi}.
Como constantes de integração podem diferir, as duas formas representam a mesma família de primitivas.

Passo 6

Dica de prova: em exercícios de prova, se você vir \sin a\cdot\cos a com mesmo argumento, pense primeiro na identidade do ângulo duplo; se o integrando tiver a estrutura f'(t)\cdot f(t) (aqui \cos\pi t aparece junto com \sin\pi t), a substituição u=f(t) também é direta. Ambas são rápidas; escolha a que te deixa mais confortável na hora.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin^{2}\pi t}{2\pi}+C

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