Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é o produto de
por
, não há limites (é uma integral indefinida) e a variável de integração é
. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que
.
Passo 2
Observação inicial e identidade trigonométrica útil. Uma identidade muito prática é a do ângulo duplo:
Dessa identidade segue imediatamente que
Aqui podemos aplicar essa identidade com
. Explicando a identidade: ela vem de fórmulas trigonométricas básicas (pode-se obter a partir da fórmula para
), mas o que importa na prova é saber que ela permite transformar um produto
numa única função seno com argumento dobrado — isso costuma simplificar integrais.
Passo 3
Aplicando a identidade ao integrando, temos
Portanto a integral fica
Passo 4
Integração da função seno com constante no argumento. A fórmula básica é: para constante
,
Justificativa (cadeia): a derivada de
é
, então para compensar o fator
precisamos do
. Aplicando aqui com
e lembrando do fator
multiplicando, obtemos
Passo 5
Método alternativo (substituição) — mostra que existe outra maneira e que o resultado é equivalente. Faça
. Então
A integral fica
Voltando a
,
Para mostrar que essa forma é equivalente à obtida no Passo 4, use a identidade
, que dá
Como constantes de integração podem diferir, as duas formas representam a mesma família de primitivas.
Passo 6
Dica de prova: em exercícios de prova, se você vir
com mesmo argumento, pense primeiro na identidade do ângulo duplo; se o integrando tiver a estrutura
(aqui
aparece junto com
), a substituição
também é direta. Ambas são rápidas; escolha a que te deixa mais confortável na hora.