Estabeleça as seguintes fórmulas trigonométricas hiperbólicas para quaisquer
, análogas ao caso real
;
Passo 1
O enunciado pede que eu estabeleça fórmulas trigonométricas hiperbólicas válidas para quaisquer
, análogas à identidade dada
Informações relevantes fornecidas:
- Os argumentos
e são números complexos ( ). - Já foi indicada a identidade para
no caso real; preciso mostrar que ela (e as demais fórmulas hiperbólicas usuais) valem para complexos também. - Não há figuras ou dados adicionais. Vou trabalhar com as definições usuais de funções hiperbólicas estendidas ao plano complexo.
Passo 2
Definições e propriedades básicas que vou usar (explicadas devagar para você entender):
- Definição de
e por exponenciais (válidas para argumentos complexos):
Aqui
é a função exponencial complexa, definida pela série de potências
que converge para todo
. Isso garante que
e
estão bem definidas no plano complexo.
- Propriedade multiplicativa da exponencial (também válida para complexos):
Essa propriedade decorre das séries de potências ou das propriedades formais da exponencial.
- Paridade (simetria) das hiperbólicas:
que se verifica diretamente das definições por exponenciais.
Vou usar apenas álgebra elementar com as expressões acima — nada que deixe de valer só porque
e
são complexos.
Passo 3
Derivação da fórmula para
passo a passo:
- Começo pela definição:
- Uso a propriedade
e para escrever
- Agora faço uma manipulação algébrica útil: somo e subtraio termos para fatorar. Reescrevo o numerador como uma soma de dois produtos que aparecem nas definições de
e :
Explico essa identidade: ao expandir o lado direito obtemos
os termos intermediários se cancelam e restam
, ou seja, a igualdade é verdadeira.
4) Substituo as combinações por e
usando as definições:
4) Substituo as combinações por
e análogo para
. Assim
Simplificando (cuidado com os fatores 2), chegamos a
Isso mostra a identidade desejada; note que toda a álgebra usada é válida para complexos.
Passo 4
Derivação da fórmula para
:
- Parto da definição
- Uso
e :
- Faço a mesma ideia de fatoração, escrevendo o numerador como combinação de produtos:
Expandindo e simplificando, verifica-se a igualdade (os termos cruzados se combinam apropriadamente).
4) Substituo pelas definições de e
:
4) Substituo pelas definições de
Pronto — a fórmula para
também vale para complexos.
Passo 5
Fórmulas para as diferenças
e
(úteis na prova e fáceis de obter):
- Uso a paridade já lembrada:
e . - Aplico as fórmulas de soma substituindo
por .
Para:
Para
:
Isso fornece as identidades de diferença de forma direta e limpa.
Passo 6
Resumo do porquê tudo isso vale para
:
- As definições por séries/exponenciais valem para complexos e a propriedade
é verdadeira em . - As manipulações algébricas (fatorações, somas e subtrações) que usei são operações elementares que continuam válidas no corpo dos números complexos.
- Portanto as fórmulas estabelecidas são completamente análogas ao caso real e válidas para quaisquer
.