Estabeleça as seguintes fórmulas trigonométricas hiperbólicas para quaisquer z, w \in C, análogas ao caso real
\operatorname{sinh} (z+w)=\operatorname{sinh} z \operatorname{cosh} w+\operatorname{sinh} w \operatorname{cosh} z;

Passo 1

O enunciado pede que eu estabeleça fórmulas trigonométricas hiperbólicas válidas para quaisquer z,w\in\mathbb{C}, análogas à identidade dada
\operatorname{sinh}(z+w)=\operatorname{sinh} z\operatorname{cosh} w+\operatorname{sinh} w\operatorname{cosh} z.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os argumentos z e w são números complexos ( z,w\in\mathbb{C}).
  • Já foi indicada a identidade para \operatorname{sinh}(z+w) no caso real; preciso mostrar que ela (e as demais fórmulas hiperbólicas usuais) valem para complexos também.
  • Não há figuras ou dados adicionais. Vou trabalhar com as definições usuais de funções hiperbólicas estendidas ao plano complexo.

Passo 2

Definições e propriedades básicas que vou usar (explicadas devagar para você entender):
  • Definição de \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} por exponenciais (válidas para argumentos complexos):
\operatorname{sinh} z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2},\qquad \operatorname{cosh} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}.
Aqui e^{z} é a função exponencial complexa, definida pela série de potências
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!},
que converge para todo z\in\mathbb{C}. Isso garante que \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} estão bem definidas no plano complexo.
  • Propriedade multiplicativa da exponencial (também válida para complexos):
e^{z+w}=e^{z}\,e^{w}\quad\text{para quaisquer }z,w\in\mathbb{C}.
Essa propriedade decorre das séries de potências ou das propriedades formais da exponencial.
  • Paridade (simetria) das hiperbólicas:
\operatorname{sinh}(-z)=-\operatorname{sinh} z,\qquad \operatorname{cosh}(-z)=\operatorname{cosh} z,
que se verifica diretamente das definições por exponenciais.
Vou usar apenas álgebra elementar com as expressões acima — nada que deixe de valer só porque z e w são complexos.

Passo 3

Derivação da fórmula para \operatorname{sinh}(z+w) passo a passo:
  1. Começo pela definição:
\operatorname{sinh}(z+w)=\frac{e^{z+w}-e^{-(z+w)}}{2}.
  1. Uso a propriedade e^{z+w}=e^{z}e^{w} e e^{-(z+w)}=e^{-z}e^{-w} para escrever
\operatorname{sinh}(z+w)=\frac{e^{z}e^{w}-e^{-z}e^{-w}}{2}.
  1. Agora faço uma manipulação algébrica útil: somo e subtraio termos para fatorar. Reescrevo o numerador como uma soma de dois produtos que aparecem nas definições de \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}:
e^{z}e^{w}-e^{-z}e^{-w} = \frac{1}{2}\bigl((e^{z}+e^{-z})(e^{w}-e^{-w}) + (e^{z}-e^{-z})(e^{w}+e^{-w})\bigr).
Explico essa identidade: ao expandir o lado direito obtemos
\frac{1}{2}\bigl(e^{z}e^{w}-e^{z}e^{-w}+e^{-z}e^{w}-e^{-z}e^{-w} + e^{z}e^{w}+e^{z}e^{-w}-e^{-z}e^{w}-e^{-z}e^{-w}\bigr),
os termos intermediários se cancelam e restam e^{z}e^{w}-e^{-z}e^{-w}, ou seja, a igualdade é verdadeira.
4) Substituo as combinações por \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} usando as definições:
\frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})=\operatorname{cosh} z,\qquad \frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})=\operatorname{sinh} z,
e análogo para w. Assim
\operatorname{sinh}(z+w)=\frac{1}{2}\bigl(2\operatorname{cosh} z\cdot \operatorname{sinh} w + 2\operatorname{sinh} z\cdot \operatorname{cosh} w\bigr)\cdot\frac{1}{2}^{-1}.
Simplificando (cuidado com os fatores 2), chegamos a
\operatorname{sinh}(z+w)=\operatorname{sinh} z\operatorname{cosh} w+\operatorname{cosh} z\operatorname{sinh} w.
Isso mostra a identidade desejada; note que toda a álgebra usada é válida para complexos.

Passo 4

Derivação da fórmula para \operatorname{cosh}(z+w):
  1. Parto da definição
\operatorname{cosh}(z+w)=\frac{e^{z+w}+e^{-(z+w)}}{2}.
  1. Uso e^{z+w}=e^{z}e^{w} e e^{-(z+w)}=e^{-z}e^{-w}:
\operatorname{cosh}(z+w)=\frac{e^{z}e^{w}+e^{-z}e^{-w}}{2}.
  1. Faço a mesma ideia de fatoração, escrevendo o numerador como combinação de produtos:
e^{z}e^{w}+e^{-z}e^{-w} = \frac{1}{2}\bigl((e^{z}+e^{-z})(e^{w}+e^{-w}) + (e^{z}-e^{-z})(e^{w}-e^{-w})\bigr).
Expandindo e simplificando, verifica-se a igualdade (os termos cruzados se combinam apropriadamente).
4) Substituo pelas definições de \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}:
\operatorname{cosh}(z+w)=\operatorname{cosh} z\operatorname{cosh} w+\operatorname{sinh} z\operatorname{sinh} w.
Pronto — a fórmula para \operatorname{cosh} também vale para complexos.

Passo 5

Fórmulas para as diferenças \operatorname{sinh}(z-w) e \operatorname{cosh}(z-w) (úteis na prova e fáceis de obter):
  1. Uso a paridade já lembrada: \operatorname{sinh}(-w)=-\operatorname{sinh} w e \operatorname{cosh}(-w)=\operatorname{cosh} w.
  2. Aplico as fórmulas de soma substituindo w por -w.
    Para \operatorname{sinh}:
\operatorname{sinh}(z-w)=\operatorname{sinh}(z+(-w))=\operatorname{sinh} z\operatorname{cosh}(-w)+\operatorname{cosh} z\operatorname{sinh}(-w)=\operatorname{sinh} z\operatorname{cosh} w-\operatorname{cosh} z\operatorname{sinh} w.
Para \operatorname{cosh}:
\operatorname{cosh}(z-w)=\operatorname{cosh}(z+(-w))=\operatorname{cosh} z\operatorname{cosh}(-w)+\operatorname{sinh} z\operatorname{sinh}(-w)=\operatorname{cosh} z\operatorname{cosh} w-\operatorname{sinh} z\operatorname{sinh} w.
Isso fornece as identidades de diferença de forma direta e limpa.

Passo 6

Resumo do porquê tudo isso vale para z,w\in\mathbb{C}:
  • As definições por séries/exponenciais valem para complexos e a propriedade e^{z+w}=e^{z}e^{w} é verdadeira em \mathbb{C}.
  • As manipulações algébricas (fatorações, somas e subtrações) que usei são operações elementares que continuam válidas no corpo dos números complexos.
  • Portanto as fórmulas estabelecidas são completamente análogas ao caso real e válidas para quaisquer z,w\in\mathbb{C}.

Resposta

\operatorname{sinh}(z+w)=\operatorname{sinh} z\operatorname{cosh} w+\operatorname{cosh} z\operatorname{sinh} w
\operatorname{cosh}(z+w)=\operatorname{cosh} z\operatorname{cosh} w+\operatorname{sinh} z\operatorname{sinh} w
\operatorname{sinh}(z-w)=\operatorname{sinh} z\operatorname{cosh} w-\operatorname{cosh} z\operatorname{sinh} w
\operatorname{cosh}(z-w)=\operatorname{cosh} z\operatorname{cosh} w-\operatorname{sinh} z\operatorname{sinh} w

Exercícios relacionados