Use o método da casca para calcular o volume do só lido obtido pela rotação em torno do eixo
da região entre
e
. (Faça o esboço).
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pelas curvas
e
. O método de cascas cilíndricas exige que:
- a gente identifique, no plano
, a região de que satisfaz ambas as curvas; - usemos cascas de raio
, altura igual à diferença entre as funçôes superior e inferior, e espessura ; - montemos a integral
Antes de tudo, vale esboçar rapidamente as duas parábolas:
(abertura para cima) e
(abertura para baixo), e ver onde elas se cruzam.
Passo 2
Encontrar as interseções das curvas resolvendo
Isso dá
Logo, a região varia de
a
.
Passo 3
Para cada casca em abscissa
:
- o raio é
(distância até o eixo ); - a altura é a diferença entre a curva superior
e a inferior , ou seja
Passo 4
Montar e calcular a integral de volume:
Calculemos:
Portanto,