Use o método da casca para calcular o volume do só lido obtido pela rotação em torno do eixo y da região entre y=x^{2} e y=4 x-x^{2}. (Faça o esboço).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelas curvas \;y=x^2\; e \;y=4x - x^2. O método de cascas cilíndricas exige que:
  1. a gente identifique, no plano xy, a região de x que satisfaz ambas as curvas;
  2. usemos cascas de raio \;x, altura igual à diferença entre as funçôes superior e inferior, e espessura dx;
  3. montemos a integral
V = 2\pi \int_{x_{\min}}^{x_{\max}} \bigl[\text{raio}\bigr]\times\bigl[\text{altura}\bigr]\,dx.
Antes de tudo, vale esboçar rapidamente as duas parábolas: \,y=x^2 (abertura para cima) e \,y=4x - x^2 (abertura para baixo), e ver onde elas se cruzam.

Passo 2

Encontrar as interseções das curvas resolvendo
x^2 \;=\; 4x - x^2.
Isso dá
2x^2 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x(x - 2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=2.
Logo, a região varia de x=0 a x=2.

Passo 3

Para cada casca em abscissa x:
  • o raio é x (distância até o eixo y);
  • a altura é a diferença entre a curva superior \,y=4x - x^2 e a inferior \,y=x^2, ou seja
\text{altura} = \bigl(4x - x^2\bigr) - \bigl(x^2\bigr) =4x - 2x^2.

Passo 4

Montar e calcular a integral de volume:
V = 2\pi \int_{0}^{2} x\,(4x - 2x^2)\,dx =2\pi \int_{0}^{2} \bigl(4x^2 - 2x^3\bigr)\,dx.
Calculemos:
\int_{0}^{2} 4x^2\,dx = \bigl.\tfrac{4x^3}{3}\bigr|_{0}^{2} = \tfrac{4\cdot8}{3}=\tfrac{32}{3},
\int_{0}^{2} 2x^3\,dx = \bigl.\tfrac{2x^4}{4}\bigr|_{0}^{2} = \tfrac{2\cdot16}{4}=8.
Portanto,
V = 2\pi \Bigl(\tfrac{32}{3} - 8\Bigr) =2\pi \cdot \tfrac{8}{3} =\tfrac{16\pi}{3}.

Resposta

V = \frac{16\pi}{3}.

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