Calcule as seguintes integrais imediatas:
\int \frac{d x}{e^{(3 x)}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{dx}{e^{(3x)}}.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{1}{e^{(3x)}}.
  • Deve ser apresentada a primitiva (ou antiderivada) dessa função, com a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão usando a propriedade dos expoentes: para todo t vale e^{-t}=\dfrac{1}{e^{t}}. Aplicando aqui com t=3x obtemos
\frac{1}{e^{(3x)}} = e^{-3x}.
Portanto a integral fica
\int \frac{dx}{e^{(3x)}} = \int e^{-3x}\,dx.

Passo 3

Vou usar um método muito simples e padrão: substituição linear. A ideia é substituir a parte mais “complicada” do expoente por uma nova variável para transformar a integral numa forma conhecida.
Faça a substituição
u = -3x.
Então diferenciando ambos os lados obtemos
du = -3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = -\frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Substituindo em \int e^{-3x}\,dx temos
\int e^{-3x}\,dx = \int e^{u}\left(-\frac{1}{3}\,du\right) = -\frac{1}{3}\int e^{u}\,du.
Agora usamos que a primitiva de e^{u} é e^{u}, logo
-\frac{1}{3}\int e^{u}\,du = -\frac{1}{3} e^{u} + C.
Voltando para a variável x via u=-3x,
-\frac{1}{3} e^{u} + C = -\frac{1}{3} e^{-3x} + C.

Passo 5

Podemos também verificar rapidamente: derivando -\dfrac{1}{3}e^{-3x} com respeito a x obtém-se
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{3}e^{-3x}\right) = -\frac{1}{3}\cdot(-3)e^{-3x}=e^{-3x},
que é exatamente o integrando, então a primitiva está correta.

Resposta

-\frac{1}{3}e^{-3x}+C

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