1. Use o teste da razão para estudar a convergência da série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}
Calcule L=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1} /(n+1)!}{2^{n} / n!}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2}{n+1}=0.
Como L<1 a série converge absolutamente.
Resposta: converge absolutamente.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}
e pede para estudar a convergência usando o teste da razão.
Informações claras que temos:
  • O termo geral da série é a_{n}=\dfrac{2^{n}}{n!}.
  • A pergunta é: a série converge ou diverge? (e, pelo enunciado, usar o teste da razão).

Passo 2

O que é o teste da razão (em linguagem direta): para uma série com termos a_{n} positivos (ou, em geral, considere |a_n|), define-se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}.
As conclusões são:
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo (é necessário outro método).
    Explicação rápida do porquê: quando a razão entre termos sucessivos tende a um número menor que 1, os termos decrescem geometricamente no infinito e isso garante convergência; quando tende a maior que 1 os termos não vão a zero suficientemente rápido (ou nem vão a zero) e a série diverge. “Converge absolutamente” significa que a série \sum |a_n| converge; isso implica que \sum a_n também converge.

Passo 3

Vamos calcular a razão para os nossos termos. Escrevendo a_{n}=\dfrac{2^{n}}{n!} e a_{n+1}=\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}, temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^{n}}{n!}}.
Agora faça as simplificações passo a passo:
  • Escreva 2^{n+1}=2\cdot 2^{n} e (n+1)!=(n+1)\,n!.
  • Substituindo isso,
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2\cdot 2^{n}}{(n+1)\,n!}\cdot\frac{n!}{2^{n}}.
  • Cancele 2^{n} e n!:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2}{n+1}.

Passo 4

Calcule o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1}.
Como o denominador (n+1) cresce sem limite, a fração tende a zero. Logo
L=0.
Comentário intuitivo: cada novo termo é cerca de \tfrac{2}{n+1} vezes o anterior, e essa razão vai ficando cada vez menor.

Passo 5

Aplicando o teste da razão: como obtivemos L=0 e 0<1, a série converge absolutamente. Isso já responde a questão pedida.
Bônus didático (útil para a prova): reconhecendo a série da função exponencial, nota-se que
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}.
Como a soma pedida começa em n=1, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}-1,
o que confirma também a convergência (e dá o valor da soma).

Resposta

converge absolutamente.

Exercícios relacionados