- Use o teste da razão para estudar a convergência da série:
Calcule
.
Como
a série converge absolutamente.
Resposta: converge absolutamente.
Como
Resposta: converge absolutamente.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para estudar a convergência usando o teste da razão.
Informações claras que temos:
Informações claras que temos:
- O termo geral da série é
. - A pergunta é: a série converge ou diverge? (e, pelo enunciado, usar o teste da razão).
Passo 2
O que é o teste da razão (em linguagem direta): para uma série com termos
positivos (ou, em geral, considere
), define-se
As conclusões são:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo (é necessário outro método).
Explicação rápida do porquê: quando a razão entre termos sucessivos tende a um número menor que 1, os termos decrescem geometricamente no infinito e isso garante convergência; quando tende a maior que 1 os termos não vão a zero suficientemente rápido (ou nem vão a zero) e a série diverge. “Converge absolutamente” significa que a sérieconverge; isso implica que também converge.
Passo 3
Vamos calcular a razão para os nossos termos. Escrevendo
e
, temos
Agora faça as simplificações passo a passo:
- Escreva
e . - Substituindo isso,
- Cancele
e :
Passo 4
Calcule o limite quando
:
Como o denominador
cresce sem limite, a fração tende a zero. Logo
Comentário intuitivo: cada novo termo é cerca de
vezes o anterior, e essa razão vai ficando cada vez menor.
Passo 5
Aplicando o teste da razão: como obtivemos
e
, a série converge absolutamente. Isso já responde a questão pedida.
Bônus didático (útil para a prova): reconhecendo a série da função exponencial, nota-se que
Bônus didático (útil para a prova): reconhecendo a série da função exponencial, nota-se que
Como a soma pedida começa em
, temos
o que confirma também a convergência (e dá o valor da soma).
Resposta
converge absolutamente.