- Encontre a série de Taylor de
em torno de
, até o termo de ordem 4 .
Expansão:
. Até ordem 4:
Resposta:
.
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre a série de Taylor de
em torno de
, até o termo de ordem 4.”
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O centro da expansão é
(expansão de Maclaurin). - Queremos a expansão “até a ordem 4”, isto é, incluir termos até
.
Passo 2
Apresentar a fórmula que vamos usar (sem pular explicações). A série de Taylor de uma função
centrada em
(Maclaurin) até ordem
é dada por
onde:
-
é a -ésima derivada de avaliada em ; -
(fatorial de ) significa com a convenção ; - o termo
é o coeficiente associado a .
Explicando com calma: para cadacalculamos a derivada , avaliamos em , dividimos por e multiplicamos por . Somamos esses termos para .
Passo 3
Calcular as derivadas de
até a quarta ordem e avaliá‑las em
.
-
. Então . - Primeira derivada:
. Então . - Segunda derivada:
. Então . - Terceira derivada:
. Então . - Quarta derivada:
. Então .
Observação importante e útil na prova: as derivadas de
repetem com período 4; por isso só aparecem termos de potência par (os termos ímpares têm coeficiente zero porque as derivadas ímpares em
são zero).
Passo 4
Construir o polinômio de Taylor (Maclaurin) até ordem 4 usando os valores calculados e a fórmula do Passo 2.
Escrevendo termo a termo:
Escrevendo termo a termo:
- Para
: . - Para
: (termo nulo). - Para
: , pois . - Para
: (termo nulo). - Para
: , pois .
Somando os termos não nulos obtemos a expansão até ordem 4:
Passo 5
Interpretação rápida para a prova (dica prática): quando pedirem “até ordem 4”, inclua todos os termos com potência
. Aqui os termos de ordem 1 e 3 são zero, então sobra apenas
. Se precisar justificar erro, o termo de resto é da ordem
(o próximo termo não nulo seria
), então a aproximação acima é exata até termos de ordem
.