1. Encontre a série de Taylor de f(x)=\cos (x) em torno de x=0, até o termo de ordem 4 .
Expansão: \cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots. Até ordem 4:
Resposta: 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}.

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a série de Taylor de f(x)=\cos(x) em torno de x=0, até o termo de ordem 4.”
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\cos(x).
  • O centro da expansão é x=0 (expansão de Maclaurin).
  • Queremos a expansão “até a ordem 4”, isto é, incluir termos até x^{4}.

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar (sem pular explicações). A série de Taylor de uma função f centrada em 0 (Maclaurin) até ordem n é dada por
P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^{k},
onde:
  • f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em 0;
  • k! (fatorial de k) significa k!=1\cdot2\cdot3\cdots k com a convenção 0!=1;
  • o termo \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^{k} é o coeficiente associado a x^{k}.
    Explicando com calma: para cada k calculamos a derivada f^{(k)}(x), avaliamos em x=0, dividimos por k! e multiplicamos por x^{k}. Somamos esses termos para k=0,1,\dots,n.

Passo 3

Calcular as derivadas de \cos(x) até a quarta ordem e avaliá‑las em 0.
  • f(x)=\cos(x). Então f(0)=\cos(0)=1.
  • Primeira derivada: f'(x)=-\sin(x). Então f'(0)=-\sin(0)=0.
  • Segunda derivada: f''(x)=-\cos(x). Então f''(0)=-\cos(0)=-1.
  • Terceira derivada: f^{(3)}(x)=\sin(x). Então f^{(3)}(0)=\sin(0)=0.
  • Quarta derivada: f^{(4)}(x)=\cos(x). Então f^{(4)}(0)=\cos(0)=1.
Observação importante e útil na prova: as derivadas de \cos repetem com período 4; por isso só aparecem termos de potência par (os termos ímpares têm coeficiente zero porque as derivadas ímpares em 0 são zero).

Passo 4

Construir o polinômio de Taylor (Maclaurin) até ordem 4 usando os valores calculados e a fórmula do Passo 2.
Escrevendo termo a termo:
  • Para k=0: \dfrac{f(0)}{0!}x^{0}=\dfrac{1}{1}\cdot1=1.
  • Para k=1: \dfrac{f'(0)}{1!}x^{1}=\dfrac{0}{1}x=0 (termo nulo).
  • Para k=2: \dfrac{f''(0)}{2!}x^{2}=\dfrac{-1}{2!}x^{2}=-\dfrac{x^{2}}{2}, pois 2!=2.
  • Para k=3: \dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^{3}=\dfrac{0}{6}x^{3}=0 (termo nulo).
  • Para k=4: \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^{4}=\dfrac{1}{4!}x^{4}=\dfrac{x^{4}}{24}, pois 4!=24.
Somando os termos não nulos obtemos a expansão até ordem 4:
\cos(x)\approx 1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}.

Passo 5

Interpretação rápida para a prova (dica prática): quando pedirem “até ordem 4”, inclua todos os termos com potência \le 4. Aqui os termos de ordem 1 e 3 são zero, então sobra apenas k=0,2,4. Se precisar justificar erro, o termo de resto é da ordem x^{6} (o próximo termo não nulo seria -\dfrac{x^{6}}{6!}), então a aproximação acima é exata até termos de ordem x^{4}.

Resposta

\cos(x)=1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}.

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